折疊桌的動態變化過程

摘 要：文章通過建立空間幾何模型，得到折疊桌的動態變化過程。建立三維直角坐標系，用折疊過程中每個桌腿上各點坐標的變化來表述折疊桌的動態變化過程，而桌子的設計加工參數包括桌腿的槽長、桌腳邊緣線以及折疊后各桌腿的傾斜角。設A為桌面邊緣任一點，B在鋼筋上，且AB 在某個桌腿所處的直線上，則桌腿AB上與A點相距q的D點坐標可表示為 ，則D 點構成的集合即可表示折疊桌各桌腿在旋轉角度為θ時的狀態，并用MATLAB 畫出折疊桌隨θ變化的動態變化圖像。

關鍵詞：向量幾何模型；MATLAB；動態變化

文章設計一種桌面為圓形的折疊桌，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度。假定長方形平板長120cm寬50cm高3cm，每根木條寬2.5cm，折疊后桌子的高度為53cm。建立模型描述此折疊桌的動態變化過程，在此基礎上給出此折疊桌的設計加工參數。我們考慮用折疊過程中每根木條上各點坐標的變化來表述其變化過程，并用MATLAB 作出折疊桌子的動態變化過程。

由于在地面附近，重力場是均勻的，反映重力場強度的“g”的分布是均勻的，處處相同，彼此平行，質心的概念可以簡化為重心[1]。

1 符號說明

h：最外側桌腿與鋼筋的交點到對應桌面邊緣的距離；？茲：最外側桌腿與豎直方向的夾角；？墜：任一桌腿與豎直方向的夾角；d：任一桌腿到最外側桌腿的距離；O：最外側桌腿與圓形桌面的交點；p：與O點相距d的桌腿的長度；？準：圓形桌面的直徑；r：圓形桌面的半徑；a：長方形平板的寬度；b：長方形平板的長度；deep：桌腿上凹槽的長度；length（t）：桌腿長度的函數；w：每根木條的寬度；high：桌面距離地面的高度。

2 模型建立和求解

在考慮折疊桌的動態變化過程的時候，我們考慮用折疊過程中每根木條上各點坐標的變化來表述其變化過程，并用MATLAB 作出折疊桌子的動態變化過程。

如圖 1所示，PP'為鋼筋，NQ為最外側的桌腿。假設 A 點為圓周上任一點，B 點在折疊狀態下與A點共線且在鋼筋上，B'點在平鋪狀態下與A點共線且在鋼筋上。AB和AB'實為同一根木條在不同狀態下的表述。則每條桌腿上的凹槽長度即為平板在折疊完成后和平鋪狀態下每根木條在圓周上的端點到該木條與鋼筋交點處的

距離之差，即為：

桌角邊緣線上各點即是圖1的右圖中以點A為起點，以 為方向，且與點A相距桌腿長度AC 的點。所以我們根據桌角邊緣線上各點坐標就可以得到桌角邊緣線的參數方程。

在轉動過程中，由于連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，所以最外側桌腿上鋼筋的位置是始終不變的，即最外側桌腿上鋼筋到桌面與其對應點的距離NP恒為h（最外側桌腿的長度為2h）。

3 動態過程的描述

3.1 最外側桌腿長度的求解

圖2為平鋪時桌子的簡略示意圖，建立直角坐標系。PP’為鋼筋所在位置，NQ 為最外側桌腿，每根木條的寬度為w，長方形平板的長為b，則

，由勾股定理知： ，

所以最外側桌腿長度 ，

取圓周上任意一點的坐標 ，與A點對應的鋼筋上一點

。

3.2 桌子半徑的求解

由于木板有3cm的厚度，因此在計算時桌面離地面的高度high=53-3=50cm。此時，若使圓形桌面與長方形平板相切，即取r=25cm，可以求得最長的桌腿長為：

而折疊后每一根桌腿都是傾斜放置，所以必有NQ>high，顯然相切這種情況不符合要求。

為了使NQ>50cm，我們考慮如圖4的切割情況。即在桌子寬度方向上下各預留1.25cm。我們用AutoCAD畫出長方形平板的切割示意圖如圖3所示。

3.3 折疊后鋼筋到任一桌腿的上端點的長度 的求解

如圖4所示，建立三維直角坐標系，當折疊桌旋轉到最終位置

時， ，桌腿的長度為： ，

與A點對應的在鋼筋上的點即為圖中B點，觀察可知，B點和P點的橫坐標和豎坐標相同，而點P的橫坐標為

（r為桌面半徑，w為每根木條寬度，θ為最外側桌腿與豎直方向的夾角）

3.4 折疊過程中任一桌腿上的點的坐標變化

由上述模型可知， 的單位向量 。

在任一桌腿AC上，從A點出發，沿著AB方向且與點A相距q 的點D的坐標可表示為（length （t）為縱坐標為 t 的桌腿長度）：

假設 D 點坐標為（x，y，z），則

隨著A點縱坐標t的變化就可以描繪出所有桌腿。又因為

隨？茲變化，由此便可得到各桌腿的動態變化過程，用MATLAB 編程得到折疊桌的狀態圖，圖5為截取幾個？茲角得到的折疊桌狀態圖。

參考文獻

[1]黃垅水.“重心”、“質心”與“引力中心”的區別與聯系[J].物理教學，2014，36（3）：63-65.

作者簡介：史宛蓉（1994-），女，江蘇省南京市人，工作單位：南京農業大學工學院，職務：學生，研究方向：工業工程。