嫦娥三號軟著陸軌道位置與速度建摸

摘 要：嫦娥三號成功發(fā)射并抵達(dá)月球軌道。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道。文章建立數(shù)學(xué)模型解決著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。

關(guān)鍵詞：著陸軌道設(shè)計(jì)；近月點(diǎn)位置；建模

1 簡單分析

將嫦娥三號的主減速階段的運(yùn)動情況簡化為水平方向和豎直方向的運(yùn)動，然后單獨(dú)分析兩個方向的運(yùn)動情況，將距離轉(zhuǎn)換為經(jīng)緯度，即求出了位置?？蓪⑶蠼曼c(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度問題轉(zhuǎn)化為求沿橢圓軌道運(yùn)行衛(wèi)星的線速度問題，最后根據(jù)開普勒第二定律和機(jī)械能守恒定理就可求出速度大小。至于速度的方向，根據(jù)曲線運(yùn)動的特點(diǎn)以及嫦娥三號的運(yùn)行方向即可確定速度方向。

2 基本假設(shè)

（1）假設(shè)月球的自傳對著陸器沒有影響；（2）假設(shè)忽略日、地引力攝動等環(huán)境干擾引起的誤差；（3）假設(shè)月球近似為一個質(zhì)量均勻的標(biāo)準(zhǔn)球體，為一個質(zhì)點(diǎn)。

3 模型的建立與求解

3.1 速度大小模型的建立

嫦娥三號圍繞月球做軌跡為橢圓的圓周運(yùn)動，著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道。

H為遠(yuǎn)月點(diǎn)到月面的距離；h為近月點(diǎn)到月面的距離。求嫦娥三號在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度，也就是求它在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)相應(yīng)的線速度，為此我們將月球看作是一個質(zhì)點(diǎn)，將嫦娥三號也看做是一個質(zhì)點(diǎn)，忽略月球重力場和月球自轉(zhuǎn)對嫦娥三號做橢圓運(yùn)動的影響，所以將問題轉(zhuǎn)化為求沿橢圓軌道運(yùn)行衛(wèi)星的線速度問題。圖1表示了衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行情況示意圖：

對比近月點(diǎn)A和遠(yuǎn)月點(diǎn)B，由衛(wèi)星總機(jī)械能守恒可有：

M為月球的質(zhì)量m為嫦娥三號的質(zhì)量vA是近月點(diǎn)的線速度vB 為遠(yuǎn)月點(diǎn)的線速度。

又根據(jù)開普勒第二定律可知：vA（a-c）=vB（a+c）（2）

聯(lián)合（1）、（2）式可解得：v■=■■ v■=■■ 其中G為引力常數(shù)。

即，在近月點(diǎn)的速度為：v■=■■ （3）

在遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度為：v■=■■（4）

3.2 速度大小的求解

由題中所給數(shù)據(jù)可知：月球質(zhì)量為M=7.3477×1022kg，月球平均半徑為r0=1737.013km，近地點(diǎn)到月面的距離為h=15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)到月面的距離為H=100km，根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以得出：半長軸：a=（2r0+h+H）/2=1794.603km

焦點(diǎn)距離：c=a-（r0+h）=42.5km。

根據(jù)橢圓中a、b、c之間的關(guān)系：a2=b2+c2解得：b=1794.099km。

即月心的位置為（42.5，0）。將所得數(shù)據(jù)代入（3）式可得：vA=1.69

2km/s。

將數(shù)據(jù)代入（4）式解得：vB=1.614km/s。

3.3 速度方向的求解

3.3.1 速度方向模型建立

嫦娥三號將在近月點(diǎn)15公里處（即近月點(diǎn)）以拋物線下降，而且在橫向飛行的水平距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于月球半徑的平均值，所以可以將整個主減速階段過程簡化為水平方向和豎直方向運(yùn)動的過程。所以有：F=■ ，F(xiàn)為推力，F(xiàn)x為推力在水平方向上的分力，F(xiàn)y為推力在水平方向上的分力。根據(jù)牛頓第二定有，水平方向的運(yùn)動過程滿足：ax=Fx/m為嫦娥三號在準(zhǔn)備著陸軌道上的質(zhì)量，ax為水平加速度。豎直方向的運(yùn)動過程滿足：ay=■-a

在主減速階段，即從近月點(diǎn)減速到離地面3公里處時，嫦娥三號基本位于著陸點(diǎn)上方，認(rèn)為此時水平方向速度為0，即v水=0

m表示嫦娥三號在準(zhǔn)備著陸軌道上的質(zhì)量2.4t，ay為豎直加速度，a表示月球的重力加速度為g/6。根據(jù)速度變化公式有，水平方向的速度變化大小為：

式中：t為主減速階段所用時間，Q為單位時間所消耗的燃料的質(zhì)量， v0為水平方向初速度。在豎直方向的速度變化大小為：

式中：v1為主減速階段豎直方向的末速度。根據(jù)位移速度公式可有，在水平方向：v02=2ax×S所以 S=■，S為水平方向上的位移。

3.3.2 模型求解

v0=vA=1.692km/s；在主減速階段結(jié)束時：v1=57m/s；利用Matlab軟件編程可以解出：S=451.81km；嫦娥三號在著陸過程中經(jīng)度基本保持不變，只有緯度在發(fā)生變化?？梢缘贸鲈虑驑O區(qū)的半徑為：r1=1735.843km。月球與地球一樣，北半球依然分為90個分度，所以每個分度的豎直高度差為19.2871km，所以從近月點(diǎn)到著陸點(diǎn)的緯度變化大小為23.4255°。根據(jù)資料中給出的嫦娥三號近月軌道示意圖以及題中給出著陸點(diǎn)的位置是19.51W，44.12N，可以判斷出嫦娥三號在準(zhǔn)備著陸軌道上的運(yùn)行方向是由南向北，所以可以得出近月點(diǎn)的緯度為20.694°，所以近月點(diǎn)的位置為19.51W，20.694N；又因?yàn)榻曼c(diǎn)與月遠(yuǎn)點(diǎn)的位置關(guān)于月心對稱，所以遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置為159.305E，69.306S

參考文獻(xiàn)

[1]王鵬基，張 ，曲廣吉.月球軟著陸飛行軌跡與制導(dǎo)律優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[J].宇航學(xué)報(bào)，2007，28（5）：1175-1179.

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