帶落角約束滑模變結構制導律研究*

李鵬程，楊鎖昌，李寶晨，岳智革

(軍械工程學院 導彈工程系，河北 石家莊 050003)

帶落角約束滑模變結構制導律研究*

李鵬程，楊鎖昌，李寶晨，岳智革

(軍械工程學院 導彈工程系，河北 石家莊 050003)

反坦克導彈在攻擊目標時，不僅希望得到最小的脫靶量，而且希望以一定的落角命中目標，從而使戰斗部充分發揮其作戰效能，得到最佳毀傷效果。以簡化后的彈-目相對運動模型為基礎，改進了一種自適應滑模變結構制導律，能夠同時滿足脫靶量和攻擊角度的雙重要求。同時，制導律設計中綜合采用雙曲正切函數法和變開關系數法，進一步削弱了控制過程中產生的抖振現象。仿真結果表明，該制導律針對不同射程的目標保證了較高的命中精度，具有很強的魯棒性。

反坦克導彈；滑模變結構制導律；落角約束；雙曲正切函數法；變開關系數法

0 引言

為了提高反坦克導彈的攻擊效能，傳統的直瞄攻擊已經不能滿足現代作戰需求，需要對目標采取不同落角的垂直攻擊。因此，在進行制導律設計時，不僅對脫靶量有要求，進一步要求導彈擊中目標時的落角，彈著角需要控制在一定范圍內，以有效增強毀傷效果。

自從Kim和Grider首次在機動彈頭再入制導的研究中引入落角約束問題[1]以來，一些學者針對不同的應用背景，不同的理論方法提出了多種具有終端角度約束的導引律，基本上可歸納為最優導引律、變結構導引律以及其他類型的導引律[1-12]?；谧顑灷碚撛O計的導引律不受性能指標和終端約束的限制，理想情況下具有最佳制導性能，但其依賴于各種假設與簡化，應用與現實問題時魯棒性較差[1-6]。帶落角約束的偏置比例導引律制導形式較簡單易于實現，但是對導航信息偏差的敏感性較低，導致制導精度不高[7-8]。由于滑模變結構控制系統具有強魯棒性，加之控制算法比較簡單，近年來，變結構控制理論逐步應用于導引律設計[9-12]。但是其控制過程中產生的抖振問題是不希望出現的，各研究人員也針對這一問題提出了不同的解決方案[9-10]。

本文根據滑模變結構控制理論，推導了帶有落角約束的導引律，能夠滿足脫靶量和攻擊角度的雙重要求，并綜合采用雙曲正切函數法和變開關系數法削弱控制過程中產生的抖振現象，有效提高了自適應滑模變結構導引律的命中精度。

1 問題數學描述

1.1 彈目相對運動模型

在建立交戰模型之前做如下假設：

(1) 導彈和目標視作在平面內運動的質點，且忽略地球自轉的影響；

(2) 導彈和目標以常值速率飛行，且導彈速率遠大于目標；

(3) 導彈的導引頭動力學環節和自動駕駛儀環節無時延；

(4) 假設目標只在俯仰平面內做水平直線運動。

對于縱向攻擊平面，導彈與目標的相對運動關系示意圖如圖1所示。

圖1中，M，T分別表示導彈和目標，r為彈目相對距離；q為彈目視線角；vM,vT分別為導彈、目標的運動速度；θM，θT分別為導彈彈道傾角與目標航跡角；aM，aT分別為導彈、目標運動的法向加速度；ηM，ηT分別為導彈、目標的速度矢量與彈目視線之間的夾角。規定水平基準線逆時針旋轉到彈目視線上時q為正，反之為負。根據圖中所示的幾何關系，可以得到以下彈-目相對運動方程組：

圖1 導彈與目標相對運動關系Fig.1 Target and missile relative motion

(1)

(2)

ηT=θT-q,

(3)

ηM=θM-q,

(4)

(5)

(6)

聯合式(1) ～(6)可得：

(7)

1.2 落角約束問題

vTsin (θT-qD)-vMsin (θD-qD)=0,

(8)

|qD-θD|<π/2.

(9)

式(9)表示導彈快要擊中目標時目標在視場范圍內。對于給定的θM和θT，存在唯一的qD滿足式(8),(9)。針對反坦克導彈目標特性，坦克與裝甲車輛基本在水平面保持勻速運動，即θT=0，則qD，θD變為非時變量，且qD≈θD,認為此時期望落角就是期望視線角。

取狀態變量：

x1=q(t)-qD(t)，

(10)

(11)

當狀態變量x1趨近于0時，則滿足了彈體以期望落角與目標接近的任務；當狀態變量x2趨近于0時，則滿足了導彈擊中目標的要求。

(12)

式中：狀態x1與x2有關聯，只要系統狀態變量x1，x2在有限時間內漸進穩定到零點，導彈就能精確命中目標。

2 帶落角約束自適應變結構導引律設計

2.1 具有落角約束制導律設計

為使系統狀態方程(12)對參數攝動和外界干擾具有魯棒性，采用滑模變結構控制理論設計制導律。制導律需要同時滿足零脫靶量和末端落角的要求，所以選取滑模面的切換函數為

(13)

結合文獻[7]的趨近律形式，為保證到達條件和良好的動態特性，本文采用滑模面的趨近律為

(14)

式中：k3，ε分別為趨近律系數和開關函數項系數，k3>0，ε>0。

對式(13)微分得

(15)

將式(12)和式(14)帶入式(15)，整理可得

k1cosηTaT]/(k1cosηM).

(16)

aM=[vM(2k1+k2+k2k3)x2+εsgns+

(17)

由于滑模變結構控制對于擾動具有良好的魯棒性，因此對彈目距離變化率的近似是可以接受的。

2.2 穩定性分析

取一個Lyapunov函數V=S2/2>0，對其求時間導數有：

2.3 抖振現象削弱

從理論角度，由于滑動模態可以按需要設計，而且系統的滑模運動與控制對象的參數變化和系統的外干擾無關，因此滑模變結構控制系統的魯棒性要比一般常規的連續系統強。但是滑模變結構控制在本質上的不連續開關特性將會引起系統的抖振。其產生的主要原因有開關在時間和空間上的滯后，以及系統慣性的影響。抖振現象的產生會影響系統的穩定性，導致導彈命中精度降低。在變結構導引律研究中，目前常用飽和函數法、變開關系數法或雙曲正切函數法等削弱抖振現象產生的影響。

(1) 雙曲正切函數法

雙曲正切曲線y=tanhx具有關于原點對稱，原點處曲線斜率為1，并以y=±1為漸近線的特性，如圖2所示。

圖2 雙曲正切函數y=tanh x的曲線軌跡Fig.2 Curve of the hyperbolic tangent function y=tanh x

由圖2可以看出，通過改變雙曲正切函數曲線在原點處的曲線斜率，雙曲正切函數曲線可以很好地逼近符號函數。因此通過引入式(18)來消除變結構導引律中所存在的抖動問題。

(18)

式中：ξ>0，調整ξ的取值，可以改變雙曲正切曲線在原點處的斜率。

(2) 飽和函數法

飽和函數法是將不連續的符號函數連續化，其表達式為

(19)

式中：δ>0，稱為邊界層厚度，也稱消顫因子。當δ較小時，擁有較高的魯棒性。由于現實問題中存在較大的時間滯后，需要δ比較大。

(3) 變開關系數法

若式(14)中ε選擇較小的值，狀態變量接近切換面時的速率較小，可有效減小抖振幅度；但若ε值過小，會導致到達切換面的時間趨向于無窮大，系統將不再是滑動模態控制系統。

從綜合控制抖振現象和到達切換面的時間2個方面考慮，需要設計的ε隨著接近切換面而逐漸減小。本文將ε設計改進為隨r逐漸減小的變量，即隨著導彈飛向目標，ε也隨之減小。ε的表達式為

ε=ar+b，

(20)

式中：a，b>0,a，b的大小根據ε的取值及r的變化進行。當r趨向于0時，能夠首先確定b的取值，其作用是保證系統在制導的大部分時間內處于滑?？刂葡到y；然后根據制導開始時r的最大值和ε的上限確定a的取值，在保證系統可以較快進入滑模面的同時盡量減小抖振幅度。a和b的取值越大，系統進入滑模面的速度越快，同時出現抖振的可能性或抖振幅度也會增大。

之前的研究中多采用上面介紹的方法中的一種來削弱抖振，取得了一定的效果，但是仍有改進的空間，本文在研究中嘗試同時使用雙曲正切函數法和變開關系數法進行抖振的削弱處理。利用雙曲正切函數替換符號函數，同時，將本文設計的關于r的一次函數形式的ε帶入到導引律公式中，綜合式(17)，(18)，(20)，可得改進的自適應滑模變結構控制導引律：

(21)

3 仿真與結果分析

本文對處于4個不同距離的目標進行了仿真，射程分別是300，500，1 000，2 500 m。自適應滑模變結構導引律系數取值分別為：vM=160 m/s，k1=1，k2=2，k3=1，a=0.1，b=50，ξ=0.1。仿真結果如圖3～6所示，分別為彈道曲線、彈道傾角曲線、攻角變化曲線、過載變化曲線，表1所示為彈道數據匯總。

圖3 射程-高度曲線Fig.3 Curve of range-height

圖4 射程-彈道傾角曲線Fig.4 Curve of range-ballistic angle

圖5 射程-攻角曲線Fig.5 Curve of range-attack angle

圖6 射程-y過載曲線Fig.6 Curve of range-Y overload

表1 仿真結果
Table 1 Simulation result

項目最小射程中間射程最大射程射程/m30050010002500落地傾角/(°)-60．77-59．95-56．61-55最大y過載-3．79-4．09-1．021．00脫靶量/m0．1670．2510．6401．273

從數學仿真的結果可以看出，本文改進的自適應滑模變結構制導律對不同距離的目標進行攻擊時，可以較好地滿足命中精度和大落角的雙重要求。

4 結束語

仿真結果表明，本文改進的自適應滑模變結構理論的制導律，既能保證脫靶量的要求，又能滿足較大的落角約束，實現了對目標的精確打擊。并綜合運用雙曲正切函數法和變開關系數法對抖振進行削弱處理，兼顧系統趨近律和控制抖動的需求，具有一定的參考意義。

[1] KIM M, GRIDER K. Terminal Guidance for Impact Attitude Angle Constrained Flight Trajectories [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1973, 9(6): 852-859.

[2] SONG T L, SHIN S J. Time-Optimal Impact Angle Control for Vertical Plane Engagements [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1999, 35(2): 738-742.

[3] RYOO C K, CHO H, TAHK M J. Optimal Guidance Law with Terminal Impact Angle Constraint [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2005, 28(3): 724-732.

[4] MANCHESTER I R, SAVKIN A V. Circular Navigation Guidance Law for Precision Missile/Target Engagements [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2006, 29(2): 314-320.

[5] 侯明善.精確對地攻擊姿態約束最優末制導設計[J].兵工學報，2008，29(1): 63-67. HOU Ming-shan. Optimum Terminal Guidance for Air-to-Ground Missile with Impact Angle Constraint [J]. Acta Armamentarii, 2008, 29(1):63-67.

[6] 常超，林德福，祁載康,等.帶落點和落角約束的最優末制導律研究[J].北京理工大學學報，2009，29(3):233-236. CHANG Chao, LIN De-fu, QI Zai-kang, et al. Study on the Optimal Terminal Guidance Law with Interception and Impact Angle [J]. Transactions of Beijing Institute of Technology, 2009, 29(3): 233-236.

[7] KIM B S, LEE J G, HAN H S. Biased PNG Law for Impact with Angular Constraint [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1988, 34(1): 277-288.

[8] 翁興偉,黃長強,劉子陽.無人攻擊機垂直命中目標的末制導律研究[J].兵工學報,2008,29(2): 184-187. WENG Xing-wei, HUANG Chang-qiang, LIU Zi-yang. Study on the Terminal Guidance Law of Hitting the Target Vertically for UCAV [J]. Acta Armamentarii, 2008, 29(2): 184-187.

[9] 賈慶忠,劉永善,劉藻珍.電視制導侵徹炸彈落角約束變結構反演制導律設計[J].宇航學報, 2008,29(1): 208-214. JIA Qing-zhong, LIU Yong-shan, LIU Zao-zhen. Variable-Structure Backstepping Guidance Law with Terminal Angular Constraint for Video-Guided Penetrating Bomb [J]. Journal of Astronautics, 2008, 29(1):208-214.

[10] 高峰，唐勝景，師嬌,等.一種改進的自適應滑模變結構導引律[J].彈道學報，2013，25(3): 18-23. GAO Feng, TANG Sheng-jing, SHI jiao, et al. An Improved Adaptive Sliding-Mode Navigation Guidance Law with Variable Structure [J]. Journal of Ballistics, 2013, 25(3): 8-23.

[11] 盧鶯,張安,何海峰.圖像制導導彈落角約束的制導律設計[J].彈箭與制導學報，2011，31(5): 57-60. LU Ying, ZHANG An, HE Hai-feng. A Design of Guidance Law of Image Guiding Missile with Terminal Angle Constraint [J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2011, 31(5): 57-60.

[12] 胡龍兵,李言俊.一種改進的變結構制導律的設計與仿真[J].火力與指揮控制,2010,35(9): 1631-1632. HU Long-bing, LI Yan-jun. Design and Simulation of an Advanced Variable Structure Guidance Law [J]. Fire Control &Command Control, 2010, 35(9): 1631-1632.

Research on Sliding-Mode Variable-Structure Guidance Law with Impact Angle Constraint

LI Peng-cheng,YANG Suo-chang,LI Bao-chen,YUE Zhi-ge

(Mechanical Engineering College, Department of Missilery Engineering,Hebei Shijiazhuang 050003, China)

In order to get the best damage effect of the warhead, anti-tank missiles (ATM) not only depend on the precision (with miss distance as zero), but also on the angle of fall. Based on simplified missile target relative motion model, an improved adaptive sliding-mode variable structure guidance law is designed, which meets the double requirements of miss distance as zero and angle of fall. Meanwhile, the chattering phenomenon of variable structure is weakened by the combination use of hyperbolic tangent function method and variable switching coefficient method. The simulation results show that the designed guidance law has high accuracy and robustness at the time of attacking different range target.

anti-tank missile; sliding-mode variable-structure guidance law; impact angle constraints; hyperbolic tangent function method; variable switching coefficient method

2014-05-20；

2014-06-20

李鵬程(1989-)，男，河北石家莊人。碩士生，研究方向為導彈制導與控制。

通信地址：830006 新疆烏魯木齊沙依巴克區倉房溝東路473號 E-mail：lpccole@163.com

10.3969/j.issn.1009-086x.2015.04.016

TJ765.2

A

1009-086X(2015)-04-0093-06