概率積分法預計參數反演方法研究進展

朱曉峻 郭廣禮 方 齊

(1.國土環境與災害監測國家測繪地理信息局重點實驗室，江蘇 徐州 221116；2.江蘇省資源環境信息工程重點實驗室，江蘇 徐州 221116)

·礦山測量·

概率積分法預計參數反演方法研究進展

朱曉峻1，2郭廣禮1，2方 齊1，2

(1.國土環境與災害監測國家測繪地理信息局重點實驗室，江蘇 徐州 221116；2.江蘇省資源環境信息工程重點實驗室，江蘇 徐州 221116)

概率積分法是我國礦山開采沉陷預計的主要方法，其預計的精度直接取決于參數的準確性，如何利用合適的方法準確穩定地求取預計參數是實際應用中的關鍵問題。全面總結了概率積分法預計參數反演的常用方法并分析了各種方法的優缺點，著重介紹了具有全局搜索能力遺傳算法在參數求取中的應用。最后，從概率積分法求參誤差、求參準則、求參范圍、參數相關性及其模型的非線性等角度，提出概率積分法預計參數求取中存在的問題及需要進一步研究的內容。

概率積分法 參數反演 研究進展

地下礦石被采出后，開采區域周圍巖體的原始應力平衡狀態受到破壞，應力重新分布，達到新的平衡過程中，巖層和地表產生連續的移動變形和非連續的破壞，這種現象叫做開采沉陷。它影響和破壞到了內部巖體和地面上的一些生產和生活設施，對地表的沉陷預計是開采沉陷學的核心內容之一，可以根據預計結果指導實際工作，采取相應的防災措施。

基于隨機介質理論的概率積分法，是我國目前較成熟應用最為廣泛的預計方法之一， 該方法理論成熟，易于計算機實現，被廣泛應用于礦區地表沉陷預計。目前，獲得概率積分法參數主要通過在工作面上方建立地表移動觀測站，通過對觀測站數據進行處理獲得該工作面的概率積分法參數，以指導鄰近工作面或者相似地質采礦條件的開采沉陷預測。根據觀測資料求取的參數精度決定了其預計精度，所以，如何利用合適的方法準確穩定地求取預計參數是實際應用中得關鍵問題。

本文總結了概率積分法參數求取的常用方法，對各種方法的適用條件及其優缺點進行了分析，并著重介紹了具有全局搜索能力遺傳算法在參數求取中的應用。最后，從概率積分法求參誤差、求參準則、求參范圍、參數相關性及其模型的非線性等角度，提出概率積分法預計參數求取中存在的問題及需要進一步研究的內容。

1 概率積分預計參數反演方法及其優缺點

概率積分法預計參數反演方法大致經歷了線性近似法、實驗設計方法反演到優化算法、智能算法的過程。線性近似法是將概率積分函數進行線性化，即將其展開成泰勒級數，取其一次項，而略去二次以上的各項。線性近似法主要有最小二乘法迭代法、高斯-牛頓法，最速下降法等，但由于概率積分函數復雜且非線性強度較強，求取參數對初值十分敏感，求解結果容易發散，致使一些學者嘗試利用優化算法及其智能算法對概率積分法參數進行求取。吳侃等[1]采用基于尋優原理的模式法求參，取得較為準確可靠的參數，但其方法仍然對參數的初值要求很高，不合適的初值往往使參數求解陷入局部最優解。隨著近幾年來智能算法的發展，遺傳算法、神經網絡、模擬退火等一些智能算法相繼被應用到解決概率積分法參數估計問題中。下面對在概率積分法中常用的方法進行總結及優缺點進行分析。

1.1 線性化近似求參

線性化近似求參方法采用線性近似的思想對概率積分法進行線性化，再基于最小二乘最小化原則進行參數求取。

該方法的優點：求出的參數比較準確。缺點：對實際觀測站的布設形式要求比較高，如果不符合類型規定，就無法求出參數；只適合矩形工作面，對任意工作面無法求解；并且對求參的初值要求比較高，一旦初值選擇不合適，求解參數時容易發散。

為了改進該方法因初值選取不當而造成參數求取失敗的問題，文獻[2]采用對初值進行正交設計的方法，在較少的試驗次數內較快逼近參數真值，減小了初值選取對使用者的經驗要求，擴大了求參方法的適用范圍。但該方法計算步驟較繁瑣，難以推廣。

1.2 正交試驗設計法

正交試驗設計法是研究多因子多水平的一種設計方法，它可以根據正交性原理，從大量的試驗中挑選出部分有代表性、典型的點進行試驗，從而大量減少試驗次數又可比較全面地反應試驗結果。

該方法優點：較好地解決了根據實測值求取任意形狀工作面的參數和選擇初值不合理而導致求參失敗的問題。缺點：由于試驗參數不斷迭代，因而較難得到滿意的參數值，而且參數個數較多時正交表太大，試驗次數太多，所以預計工作量較大，求取參數速度較慢；正交試驗只是從理論上用較少的試驗模擬全部試驗，所以得出的只是參數的近似值。

1.3 模矢法

模矢法亦稱步長加速法，是一種求取非線性無約束最優解問題的算法，由胡克和基夫斯于1961年提出。該方法將參數組當作一組矢量，通過改變尋優的方向和尋優的步長來尋找一組最優的參數組。

優點：易于編制計算機程序，且具有追尋谷線(脊線)加速移向最優點的性質，并且利用此方法可以對任意形狀工作面測得的數據進行求取。缺點：由于為了求取參數而采用的誤差函數是一個比較復雜的目標函數，這樣求解過程會陷入局部極值陷阱，把局部最優解誤認為全局最優解。所以這種方法對參數初值也有一定要求，并且有時在求解過程中算法無法收斂。

文獻[3]在模矢法的基礎上針對參數求解過程中實測數據的粗差常導致參數求取不穩定的問題，提出基于穩健估計的參數反演方法，在一定程度上提高了參數求取的精度。

1.4 神經網絡及支持向量機法

人工神經網絡[4]特有的非線性適應性信息處理能力可以通過學習來獲取外部的知識并存儲在網絡內，在其他科學領域廣泛應用。

人工神經網絡參數反演方法是在已知概率積分法參數的地質采礦因素的基礎上，建立神經網絡或支持向量機的概率積分法參數計算模型，然后再利用建立好的模型根據地質采礦條件求取概率積分法參數。文獻[5]利用神經網絡求取預計參數，下沉系數計算的相對誤差為0.63%，水平移動系數計算的相對誤差為5%，主要影響角正切計算的相對誤差為0.93%，拐點偏移距計算的相對誤差為12.6%，開采影響傳播角計算的最大絕對誤差為1.479 4°。文獻[6]所有計算結果誤差均小于3倍中誤差，最大相對誤差9.6%。盡管該方法從測試實驗結果上有較好的精度，但由于神經網絡模擬的一個黑箱子過程，無法了解其中的處理過程，在實際工程中難以判別其精度，導致其實用性較小。

1.5 遺傳算法

遺傳算法是模擬自然界中生物進化的過程，基于適者生存的法則，通過選擇、交叉和變異等操作實現種群的尋優過程，適合于復雜非線性系統參數估計。遺傳算法包括參數編碼、初始種群生成、個體適應度檢測、選擇操作、交叉操作和變異操作等6個步驟。遺傳算法基本原理及實現步驟詳見文獻[7]。該方法由于其在參數反演方面的優越性，已在各個學科領域獲得廣泛應用。

概率積分法函數形式具有較強的非線性強度，參數之間具有相關性導致其反函數難以求取、求解過程對迭代初值依賴性強、容易陷入局部最優值。遺傳算法的初值為擬進化的種群，屬于多點并行解法，有效避免算法對單一初值的依賴性；同時計算過程中通過交叉、選擇、變異等遺傳算子，有效避免算法陷入局部極小值。從這一角度講，遺傳算法對概率積分法預計參數反演問題具有較強的適應性。

文獻[8]采用遺傳算法解決概率積分法參數求取過程中對初值依賴性大、易于陷入局部最優解及迭代發散問題，同時從遺傳算法進行概率積分法預計參數反演的準確性、可靠性、抗粗差干擾、抗觀測點缺失等幾個角度研究了該算法參數反演的可靠性，并結合一個工程實例與直接反演、優化反演的代表性算法進行了對比分析。研究結果表明：遺傳算法反演概率積分法預計參數精度高，參數相對誤差小于1.5%，對觀測站中的觀測值隨機誤差、粗差、觀測點缺失的問題具有較強的抗干擾能力，較線性近似法、模矢法在求參的準確性和可靠性方面有明顯優越性。

該方法的優點：限定預計參數的范圍，無需選定初值，防止計算發散；具有全局搜索能力，避免陷入局部最優解；對實際觀測站的點位位置要求比較低，并可以求取任意工作面形狀的參數。但利用遺傳算法求取概率積分法參數時，同樣帶來了所有應用遺傳算法共有的問題——后期收斂慢和局部搜索能力差。后期收斂慢和局部搜索能力較差指遺傳算法后期，在種群中個體的多樣性降低，每個個體的適應度都較高且較為平均，從而使個體之間出現近親遺傳交叉，群體進化能力喪失，從而使得算法在后期難以搜索到最優解，計算步驟也急劇增加。隨著遺傳算法在各領域的應用，出現不少針對這一突出問題的解決方法，如結合模擬退火的遺傳算法、自適應遺傳算法及其其他改進算法。

綜合分析以上概率積分法參數反演方法的優缺點,見表1。

2 概率積分法預計參數反演方法存在問題分析

2.1 概率積分法模型誤差

概率積分法預計參數求取過程中，誤差可分為兩大類：一種是模型誤差，另一種是參數誤差。而模型誤差也可分為3種：第1種因工作面不充分采動而引起求取的參數偏離實際值；第2種特殊地質構造下，地表移動變形不再符合概率積分法預計曲線，從而導致的預計參數求取誤差；第3種由于本身概率積分法模型的缺陷而導致與實際地表移動變形不完全吻合。針對概率積分法模型的誤差，不少學者對其進行了深入的研究，但仍存在一些問題，下面分別從模型誤差的3個方面對其進行說明。

表1 常用參數反演方法對比

(1)因工作面不充分采動引起的預計參數誤差。由于概率積分法是基于隨機介質理論模型建立起來的，而實際巖層力學特性往往不能都等效成隨機介質。當工作面達到充分采動或大范圍采動時，巖層結構對地表沉陷的控制不起決定性作用，此時概率積分法的預計效果比較好；而當工作面是非充分采動時，工作面上方的關鍵層或堅硬巖層對地表有一定控制作用，此時使用概率積分法預計地表移動變形有一定偏差。吳侃[9]針對工作面極不充分或非充分時預計結果與實測結果某些方面不符的情況，在許多實測資料的基礎上得出小工作面的預計參數與采動程度系數之間的經驗公式。

對逆變器與DC/DC的級聯系統建立MATLAB/Simulink仿真模型，其中電感值設置為4 mH，電容值設置為8 000 μF，內阻0.044 Ω，電池側直流電壓為1 100 V，直流環節側的期望電壓設置為1 500 V。

(2)特殊地質構造下預計誤差。概率積分法模型只考慮上覆巖層為均質顆粒介質，對不同特殊地質采礦條件的情況未加詳細探討。當工作面上方巖層存在巨厚沖積層、斷層、褶曲等具體地質構造時，由于地質構造對地表沉陷的影響，使地表移動曲線不再符合概率積分法模擬的移動曲線。近些年來，不少學者對特殊構造的預計模型進行了研究。何萬龍[10]在分析西部各省山區煤礦地表移動觀測資料基礎上，提出了在概率積分法預計模型預計沉陷上加上因山區傾斜造成的山區地表滑動變形的山區沉陷預計模型；李永樹[11]建立了背斜構造情況下沉陷預計模型；張向東[12]將沖積層視為隨機介質，將基巖看成黏彈性基礎上的黏彈性梁，在此基礎上建立了厚沖積層下地表沉陷預計模型；余華中[13]將上覆巖體分為基巖和沖積層兩部分，對于基巖按傳統概率積分法預計，在地表沉陷預計時，將基巖下沉作為輸入，認為地表下沉是由基巖與沖積層接觸部分的“變采厚開采”引起的，從而建立了厚松散層下開采沉陷預計模型。

(3)概率積分法本身缺陷引起的誤差。吳侃[14]針對概率積分法存在水平移動預計曲線收斂過快、充分采動區內水平移動不為零等問題，在對大量實測數據分析的基礎上，提出采用多項式修正方法對水平移動曲線、充分采動區內水平移動和水平變形曲線進行修正。

2.2 概率積分法參數誤差

概率積分法參數是根據地表移動觀測站實測資料求取得到的，移動觀測站的觀測精度直接影響到概率積分法參數的準確性。文獻[15]只對采用模矢法求參時觀測線上觀測點的缺失、不規范觀測資料對求參的精度進行了研究，但未對測量誤差、測量粗差及其粗差的位置對求參的精度進行深入研究。

在各種方法求取概率積分法參數時，基本都采用擬合中誤差對其求參結果好壞進行評判，但觀測資料中不可避免帶有觀測誤差以及觀測粗差，這將導致個別情況參數求取時擬合效果十分好，但求取的參數卻脫離實際物理范圍。針對該問題仍需從如下幾方面進行研究：

(1)將穩定估計的理論融入求參的方法中去，在觀測資料出現觀測粗差或精度不高的點時，降低其點的權重，從而提高整體求參的精度。

(2)求取參數過程中，應該對參數范圍加以限制，當迭代過程中參數超出限定的范圍時停止迭代或采取某種措施。

(3)擬合中誤差只是評判參數反演方法對實測資料的擬合好壞的指標，且各觀測點的實測變形值的權重不全相等，所以擬合中誤差不能等同于單位權中誤差來評判求參結果的精度，需重新確定一個指標來評判求參的精度。

2.3 概率積分法求參準則

在所有求參方法中，基本采用[VV]=min或[|V|/W]=min作為選取最優參數的準則。[VV]=min求參準則側重于減小誤差V，而在移動邊界附近的移動值很小，在工作面上方的移動值很大，以及從文獻[8]中看出位于工作面上方的移動值往往對求參結果影響大，而位于邊界處的移動值對求參結果影響不是很大，這將導致不同位置實測點的相對誤差不均勻以及不同位置點的“權重”不一樣，工作面上方相對誤差較小權重大，移動邊界附近相對誤差很大權重小，最終工作面上方的擬合效果比邊緣的擬合效果要好。而采用[|V|/W]=min求參準則側重于減小相對誤差V，雖然其相對誤差均可以反映出來，但這樣移動邊界附近的誤差會較大，這些誤差會對求取的參數誤差有很大的影響。由于在實測之中拐點處和最大下沉值處附近的點對求取的參數影響很大，決定了概率積分法的可靠性，所以無論采用[VV]=min還是[|V|/W]=min的方法實際上都造成了各測點不等“權”的現象，從而如何根據實測點位于工作面不同的位置而定其權重是進一步需要研究的內容。

2.4 面域數據的概率積分法參數求取

隨著三維激光掃描技術及INSAR技術應用到沉陷監測中，礦區沉降觀測數據不再是幾條觀測線上的線數據，而是龐大區域的面數據。這些面域數據精度往往傳統水準測量的精度低，但它們其中包含的信息量遠遠大于傳統測量手段換取的信息，如何利用面域數據研究地表移動規律及其求取預計參數是進一步研究的方向。

2.5 概率積分法非線性研究

測量中所涉及的函數模型大部分都是非線性模型[16]，處理此類非線性模型時，傳統的方法是將其進行線性化近似。這樣的近似會帶來如下以下問題：

(1)現有的測量精度的提高，測量誤差往往小于或等同于線性近似帶來的誤差，致使線性近似化引起較大的模型誤差。

(2)有些非線性模型對參數的近似值十分敏感，若近似值的精度較差，線性近似時就可能會產生較大的模型誤差甚至導致解算結果發散。

(3)由于沒有顧及線性近似所引起的模型誤差，有時用線性模型的精度評定理論去評定估計結果的精度，會得到一些虛假的優良統計性質，人為地拔高估計結果的精度。

在求取概率積分法參數時，常常因為初值選取不當而引起求參精度不高，說明概率積分法函數具有較強的非線性強度。而目前對于求參方面的研究僅僅局限于求參方法的研究，在概率積分法函數非線性模型上少有研究。所以，對概率積分函數本身的非線性的特性(非線性強度、固有非線性、參數效應非線性)以及其和適定性(唯一性、穩定性)需進一步研究，只有在此研究基礎上才能確保求取的參數準確穩定。

2.6 概率積分法參數相關性研究

從文獻[17]看出，概率積分法預計參數都與回采區尺寸相關，說明在概率積分法模型中預計參數是相關的。概率積分法模型中參數相關(尤其是在非充分采動情況下)對其參數反演結果有著較大影響，將導致在參數求取結果的不適定性(即求參結果多值性)。如何處理概率積分模型中參數相關性問題、減小參數反演結果的不確定性也是需要進一步研究的問題。

3 結 論

根據地表移動監測站數據反演概率積分法預計參數是這一方法應用過程中的關鍵問題。本文總結了常用的概率積分法參數反演方法并指出存在的問題，對比了基于線性近似法、模矢法和遺傳算法的概率積分法預計參數反演方法，從求參的準確性和穩定性角度來講，遺傳算法優于線性近似法和模矢法求參效果；從概率積分法求參誤差、求參準則、求參范圍、參數相關性及其模型的非線性等角度，提出概率積分法預計參數求取中存在的問題及需要進一步研究的內容。

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(責任編輯 石海林)

Recent Progress on Parameter Inversion of Probability Integral Method

Zhu Xiaojun1,2Guo Guangli1,2Fang Qi1,2

(1.NASGKeyLaboratoryofLandEnvironmentandDisasterMonitoring，Xuzhou221116，China;2.TheMainLaboratoryofResourceEnvironmentInformationofJiangsu，Xuzhou221116，China)

Probability integral method is the main method of predicting mining subsidence，and its prediction accuracy directly depends on the accuracy of the parameters.How to use the right methods to accurately and stablly calculate the expected parameters is the key issue in practical application.The probability integral method commonly used in parameter inversion is summarized and the advantages and disadvantages of various methods are analyzed.Then the global search ability of genetic algorithm applied in parameter calculation is emphatically introduced.Finally，the existing problems and the further research tasks in the probability integral method to predict parameters are put forword from the aspects of error，and principles and scope，parameters correlation in probability integral method and the nonlinear of the model.

Probability integral method，Parameter inversion，Research progress

2015-02-09

“十二五”國家科技支撐計劃項目(編號：2012BAB13B03)，江蘇高校優勢學科建設工程項目(編號：SZBF2011-6-B35)，江蘇省資源環境信息工程重點實驗室基金項目(編號：JS201309)。

朱曉峻(1989—)，男，博士研究生。

TD17，TD325

A

1001-1250(2015)-04-173-05