模糊數(shù)度量的單值函數(shù)表示

李雪粉, 樊太和

(浙江理工大學理學院, 杭州 310018)

模糊數(shù)度量的單值函數(shù)表示

李雪粉, 樊太和

(浙江理工大學理學院, 杭州 310018)

基于一個具體的三角模糊數(shù)作為結構元,給出了模糊數(shù)與定義于[-1,1]上的單調(diào)遞增有界且上半連續(xù)的函數(shù)構成的集合之間的一一對應關系,從而得到了模糊數(shù)的單值函數(shù)表示。在上述表示基礎上,給出了模糊數(shù)空間上的各種度量如上確界度量、Lp度量、sendograph度量的單值函數(shù)表現(xiàn),從而將對模糊數(shù)的度量(拓撲)性質(zhì)的研究完全轉化為對普通單調(diào)遞增有界且上半連續(xù)的函數(shù)空間中相應性質(zhì)的研究。

模糊數(shù); 度量; 單值函數(shù); 同胚

1 引言和預備知識

文獻[1]提出了模糊數(shù)的結構元表示定理,證明了基于一個結構元可以用單調(diào)函數(shù)表示模糊數(shù)。這一表示定理解決了模糊集論中的分解定理、表現(xiàn)定理和擴張原理這三大定理的運用在計算中受參數(shù)遍歷性限制的問題。本文基于上述表示定理,首先通過固定一個特定的三角模糊數(shù)作為結構元,給出了模糊數(shù)空間與定義于[-1,1]上的單調(diào)遞增有界且上半連續(xù)的函數(shù)集合MJ之間的一一對應;然后基于上述對應給出了模糊數(shù)空間上的各種度量如上確界度量、Lp度量、sendograph度量的單值函數(shù)表示,從而將對模糊數(shù)的度量(拓撲)性質(zhì)的研究,完全轉化為對普通單調(diào)遞增有界且上半連續(xù)的函數(shù)空間中相應性質(zhì)的研究。

本文中I表示單位區(qū)間[0,1],J表示閉區(qū)間[-1,1],MJ表示定義在J上的單調(diào)遞增、有界且上半連續(xù)的實值函數(shù)全體。

定義1.1[2]設u為實數(shù)域R上的模糊集,其隸屬函數(shù)為u(x),如果u(x)滿足下述性質(zhì):

(1)u是正規(guī)的,即存在x0∈R,使得u(x0)=1;

(2)u是模糊凸的,即對于任意的x,y∈R和r∈I,有:

u(rx+(1-r)y)≥min{u(x),u(y)};

(3)u是上半連續(xù)的;

(4)u0=cl{x|x∈R,u(x)>0|}是緊致的。

則稱u是一個模糊數(shù)。

全體模糊數(shù)構成的集合記為ε1。

對于任意的A,B∈Rn,A與B之間的Hausdorff距離[2]定義為:

其中

以下是模糊數(shù)空間上定義的幾個常用度量[2]。

定義1.2 設u,v∈ε1,定義

其中send(u)={(x,α)∈[u]0×I:u(x)≥α}。

則d∞、Lp(1≤p<+∞)和D∞均為ε1上度量,分別稱為上確界度量、Lp度量和sendograph度量。

設f∈MJ,如果f是嚴格單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù),則f的反函數(shù)f-1存在并且也是嚴格單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù),而當f不連續(xù)時,f不是J到[f(-1),f(1)]的滿射,從而f的反函數(shù)不存在。為了定義反函數(shù),文獻[1]給出了如下延拓反函數(shù)的概念。

定義1.3[1]設f∈MJ,f的延拓反函數(shù)定義如下:對任意c∈[f(-1),f(1)],

(1) 當y+≤0時,定義f-1(c)=y+;

(2) 當y-≥0時,定義f-1(c)=y-;

(3) 當y-<0

為了下面討論方便起見,將對定義1.3中條件(3)略作修改,引入下述延拓集值反函數(shù)概念:

(1) 當y+≤0時,定義f-1(c)=y+;

(2) 當y-≥0時,定義f-1(c)=y-;

(3) 而當y-<0

容易驗證f的延拓集值反函數(shù)是定義在[f(-1),f(1)]上的上半連續(xù)集值函數(shù)。

模糊數(shù)的運算是基于擴張原理[3]給出的,但是在利用擴張原理表達問題時,需要對元素遍歷某個條件所對應的全體結果進行運算,這種運算中的遍歷過程給模糊分析理論帶來了極大的不便,使得實際計算和應用時非常不方便。為了克服這一問題,文獻[1]中給出了模糊數(shù)的結構元表示方法,利用結構元表示有效地克服了這一問題。文獻[1]主要定義和結論如下:

定義1.6[1]設A為實數(shù)域R上的模糊集,隸屬函數(shù)記為A(x),x∈R。如果A(x)滿足下述性質(zhì):

(1)A(0)=1,A(1+0)=A(-1-0)=0;

(2) 在區(qū)間[-1,0)上A(x)是單增右連續(xù)函數(shù),在區(qū)間(0,1]上A(x)是單降左連續(xù)函數(shù);

(3) 當-∞

則稱模糊集A為R上的模糊結構元。

如果模糊結構元A分別在(-1,0)和(0,1)上連續(xù)嚴格單調(diào)遞增和連續(xù)嚴格單調(diào)遞減,則稱A為正則的模糊結構元。

需要說明的是,命題1.1中的結構元和單調(diào)函數(shù)具有任意性。為了使上述對應確定起見,下面采用固定一個三角模糊數(shù)E作為標準結構元,以此標準結構元為基礎建立模糊數(shù)集合ε1與J上的單調(diào)遞增有界且上半連續(xù)的函數(shù)構成的集合MJ之間的一一對應關系,從而使得對模糊數(shù)的研究問題完全以一種一一對應的確定方式轉化為對普通單調(diào)遞增有界上半連續(xù)函數(shù)相應性質(zhì)的研究。

定義1.7 設E為實數(shù)論域R上的模糊集,其隸屬函數(shù)為

稱E為標準三角模糊數(shù)。

注:顯然,標準三角模糊數(shù)是一個正則模糊結構元。以下本文中出現(xiàn)的E恒表示標準三角模糊數(shù)。

HM:ε1→MJ,

注:下面給出的證明和[1]中關于命題1.1的證明類似,只不過這里本文構造的函數(shù)f是上半連續(xù)的。

注:文獻[1]中構造的函數(shù)f是單調(diào)遞增且有界的,但是不唯一。在上述定理中,由于要求函數(shù)上半連續(xù),從而保證了函數(shù)f的唯一性。

2 模糊數(shù)度量的單值函數(shù)表示

在模糊數(shù)集合ε1上定義的常見度量有d∞、dp、D∞等度量。關于ε1在這些度量下的拓撲性質(zhì)的研究是模糊數(shù)的基本研究內(nèi)容。本節(jié)中基于上節(jié)建立的雙射HM討論模糊數(shù)度量空間上不同的度量在MJ中的表現(xiàn)形式,從而將模糊數(shù)度量空間的研究轉化為對單調(diào)遞增有界且上半連續(xù)的函數(shù)類上度量的研究。這就為模糊數(shù)度量空間的研究提供了一種新的方法。

首先,因為單調(diào)函數(shù)是黎曼可積的[4],因此可以在MJ上引入下述定義:

定義2.1 a) 設f,g∈MJ,定義

易知dI和dS都是MJ上的度量[4]。

證明是簡單的,從略。

命題2.1說明,若在ε1中定義度量dαI為

則模糊數(shù)度量空間(ε1,dαI)與度量空間(MJ,dI)是等距同構的;不難驗證dαI和Lp度量拓撲等價,即它們誘導出ε1上相同的拓撲。

例2.1 令

證明:顯然,當n固定后fn(x)是單增且有界的。下證fn(x)是柯西列。

不妨設m>n,則

故{fn(x)}是柯西列。

即存在N,當n>N時有

故fn(x)→f(x)。顯然f(x)是無界的單調(diào)遞增函數(shù),這就說明了(MJ,dI)是不完備的度量空間,從而文獻[1]中關于(MJ,dI)的完備性結論有誤。又由命題2.1知度量空間(ε1,dαI)與度量空間(MJ,dI)是等距同構的,因此模糊數(shù)度量空間(ε1,dαI)也是不完備的。

下面研究模糊數(shù)度量空間(ε1,dp)與函數(shù)類空間MJ的關系,由于Lp與L1具有相同的拓撲性質(zhì),在研究(ε1,dp)空間的性質(zhì)時,只需研究(ε1,d1)即可,有如下命題:

命題2.2 模糊數(shù)度量空間(ε1,d1)與度量空間(ΜJ,dI)是度量等價的。

且

又由命題2.1知

故

即

因此，度量空間(MJ,dI)與(ε1,d1)度量等價,從而度量空間(M[-1,1],dI)與(ε1,d1)也是同胚的。

命題2.2說明對模糊數(shù)度量空間(ε1,d1)拓撲性質(zhì)的研究也可以轉化為對度量空間(MJ,dI)的相應性質(zhì)的研究。

以下命題是文獻[1]中相應結論的特例。

由HM的雙射性及命題2.3可得如下推論:

推論2.1 模糊數(shù)度量空間(ε1,d∞)與度量空間(MJ,ds)等距同構,從而同胚。

由推論2.1,對模糊數(shù)空間(ε1,d∞)的拓撲性質(zhì)的研究可以完全轉化為J上單增有界且上半連續(xù)的函數(shù)類相應性質(zhì)的研究。

本節(jié)最后考慮模糊數(shù)空間上的sendograph度量在函數(shù)類空間MJ上的表現(xiàn)形式。

證明是顯然的,從略。

引理2.2 兩個不同模糊數(shù)之間的sendograph距離的達到點若是在1-截集處,則達到點的的橫坐標必為1-截集的端點;即任給u,v∈ε1,u≠v,若a=(xa,λa)∈?(send(u)),b=(xb,λb)∈?(send(v)),λa=1或者λb=1

使得

D∞(u,v)=dH(send(u),send(v))=d(a,b),

成立,則有

推論2.2 兩個模糊數(shù)之間的sendograph距離的達到點若是在0-截集上,則達到點的橫坐標必為0-截集的端點,且兩個達到點同時為零截集的端點。

這一推論的證明和引理2.2類似,從略。

引理2.3 兩個模糊數(shù)之間的sendograph距離必然在各自正規(guī)點的同一側達到,即任給u,v∈ε1,必有a=(xa,λa)∈?(send(u)),b=(xb,λb)∈?(send(v)),使得

或者

且

D∞(u,v)=dH(send(u),send(v))=d(a,b)成立。

證明:由引理2.1知,必有a=(xa,λa)∈?(send(u)),b=(xb,λb)∈?(send(v))使得

D∞(u,v)=dH(send(u),send(v))=d(a,b)成立;

定義2.3 在MJ上定義

易知dHGr是MJ上的一個度量,MJ關于度量dHGr構成的度量空間記為(MJ,dHGr)。

注:利用函數(shù)的圖研究函數(shù)的拓撲性質(zhì)是點集拓撲學中的常用方法[5]。下述命題給出了模糊數(shù)的sendograph度量和與它對應的MJ中表示函數(shù)之間度量的關系。

命題2.4 任給u,v∈ε1,E為定義在J上的三角模糊數(shù),且f,g∈MJ,使得

證明:不妨假設

D∞(u,v)=d(A,B),A=(yA,λA)∈?send(u),

B=(yB,λB)∈?send(v),

且進一步假設

則由擴張原理及f,g為遞增函數(shù)可知:

且有xA∈[0,1],xB∈[0,1]使得

d(A,D)=d(A1,D1)

這與

矛盾,故

故

從而有

注:命題2.4說明模糊數(shù)度量空間(ε1,D∞)與函數(shù)類空間(MJ,dHGr)等距同構,從而它們也是同胚的。因此,關于度量空間(ε1,D∞)的研究可以完全轉化為對度量空間(MJ,dHGr)的相應性質(zhì)的研究。

[1] 郭嗣琮. 基于結構元理論的模糊數(shù)學分析原理[M]. 沈陽: 東北大學出版社, 2004: 53-96.

[2] Diamond P, Kloeden P. Metric Spaces of Fuzzy Sets[M]. Singapore: World Scientific, 1994: 7-70.

[3] 陳水利, 李敬功, 王向公. 模糊集理論及其應用[M]. 北京: 科學出版社, 2005: 1-58.

[4] 鄭維行, 王聲望. 實變函數(shù)與泛函分析概要[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社, 2005: 229-237.

[5] Klein E, Thompson Anthony C. Theory of CorresponDences[M]. New York: John Wiley & Sons, 1984: 73-93.

(責任編輯： 康 鋒)

Monotropic Function Representation of Metrics on Fuzzy-number Space

LIXue-fen,FANTai-he

(School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 31800, China)

By taking a specific triangular fuzzy number as structural element, this paper gives a bijection between the set of all fuzzy numbers and the set of all bounded, monotonic increasing and upper semi-continuous functions defined on [-1, 1], thus get a monotropic function representation of fuzzy number. On the basis of above representation, this paper gives the monotropic function representation of various metrics on fuzzy number space, such as the supremum metric, theLpmetrics, and the sendograph metric, so as to fully translate the study on metric (topology) properties of fuzzy numbers into the study on the corresponding properties on the space of all bounded, monotonic increasing and upper semi-continuous functions.

fuzzy number; metrics; monotropic function; homeomorphism

1673- 3851 (2015) 01- 0135- 05

2014-07-04

國家自然科學基金項目(61170110,11171308,61379018)

李雪粉(1988-),女,河南商丘人,碩士研究生,主要從事不確定性數(shù)學理論方面的研究。

O175.14

A