廣義逆平差法詳解

馮浩鑒

(中國測繪科學研究院，北京 100039)

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廣義逆平差法詳解

馮浩鑒

(中國測繪科學研究院，北京 100039)

文獻[1]中提出的廣義逆平差法又稱逆平差法，通過解算廣義逆矩陣來解決測量平差問題是該方法的一個亮點。一般讀者對廣義逆矩陣這個概念可能比較生疏，但本文定義的廣義逆矩陣及其求解公式非常簡單，很容易掌握，對教學、科研和生產實踐有一定參考價值。

廣義逆矩陣；平差

一、引 言

處理測量平差問題大致分3個步驟：一是測量誤差方程的建立，二是平差模型的選擇，三是精度評定。這3個步驟互相聯系，互相制約，互相影響。觀測誤差方程建立后，對平差模型的選擇非常重要，它不但決定平差后的觀測精度，而且對整個觀測對象的客觀性產生直接影響。迄今從發表的大量文獻來看，對此問題進行研究的論文很少，似乎沒有引起必要的重視。本文提供了多種平差模型，可能對各種平差對象的處理起拋磚引玉作用，也可能對一些特殊例子有獨到之處，從文獻[1]提供的小型算例可以得到一點提示。

二、基礎知識

假設矩陣A為非奇異矩陣，則A存在唯一的逆矩陣A-1，滿足AA-1=A-1A=E(單位矩陣)。如果方程組AX=B的系數矩陣A非奇異，則方程組存在唯一解X=A-1B。但如果A為奇異方陣或長方形矩陣，則A的逆矩陣就不存在，在這種情況下，需要研究A的廣義逆矩陣。

根據不同條件，可以定義A的不同類型廣義逆矩陣，本文根據C.R.Rao的著作給出以下定義[2]。

1.廣義逆矩陣定義

設矩陣A滿足

AA-A=A

(1)

定義A-為A的廣義逆矩陣。由定義可得出以下推論：①當A為行滿秩矩陣時，則A-=AT(AAT)-1；②當A為列滿秩矩陣時，則A-=(ATA)-1AT；③當A為滿秩方陣時，則A-=A-1。其中AT為A的轉置矩陣。

2.廣義逆矩陣唯一性定理

廣義逆矩陣A-若滿足以下4個條件

(2)

則式(2)中的A-存在唯一解。

證：假設式(2)有兩個解

(AXA)TYTY=(XA)TATYTY=

證畢。

三、平差數學模型

1.條件平差

(1) 求平差值

設條件方程為

(3)

假設V=A-W為式(3)的解，則得

AA-W=W

(4)

因A為行滿秩矩陣，依廣義逆矩陣的推論得

A-=AT(AAT)-1

(5)

將式(5)代入式(4)得AAT(AAT)-1=E。

由此得

V=A-W=AT(AAT)-1W

(6)

為條件方程式(3)的一個解。下面進一步證明式(6)不但是式(3)的解，而且是唯一解。

證：將式(6)代入式(3)并將其系數矩陣A-代入式(2)的條件(Ⅰ)得

AA-A=AAT(AAT)-1A=A

代入條件(Ⅱ)得

A-AA-=AT(AAT)-1AAT(AAT)-1=A-

代入條件(Ⅲ)得

因此(AA-)T=AA-

代入條件(Ⅳ)得

又由于A-A=AT(AAT)-1A，得

(A-A)T=A-A

證畢。

(2) 求平差值及其函數的相關方差矩陣

① 求一組平差值的相關方差矩陣

設一組平差值為

(7)

式中，符號?表示該式應用誤差傳播定律時保持相等關系。

顧及一組觀測值相互獨立且等精度得

(8)

② 求一組平差值線性函數的相關方差矩陣

設一組平差值線性函數為

式中，F為非對稱系數矩陣。其中，元素取決于一組線性函數表達式，F0為常量矩陣。由式(7)得

φ?FL-FAT(AAT)-1AL=[F-FAT(AAT)-1A]L

由相關方差矩陣同一性規律得φ的相關方差矩陣為

(9)

2.間接平差

(1) 求平差值

設觀測誤差方程為

(10)

式中，A、X分別為誤差方程的系數和未知數(待估參數)矩陣。用分塊矩陣改寫式(10)得

(11)

BZ=L

(12)

可將式(11)或式(12)看成條件方程，因B行滿秩，所以

Z=B-L=BT(BBT)-1L

(13)

即

(14)

于是

(15)

式中，G-1=[AAT+E]-1。

將B-按式(2)的條件可證得B-的解唯一(證明略)。

(2) 求平差值及其函數的相差方差矩陣

① 求一組平差值的相關方差矩陣

由式(15)第二式得平差值X的相關方差矩陣為

DX=ATG-1DL[ATG-1]T

(16)

顧及觀測值li、lj相互獨立且等精度，則有

DX=ATG-1μ2EG-1A=μ2ATG-1G-1A

(17)

② 求一組平差值線性函數的相關方差矩陣

設一組平差值線性函數為

同理得

Dψ=μ2FATG-1G-1AFT

(18)

3.附條件式的間接平差

(1) 求平差值

設觀測誤差方程為式(11)，在t個未知數之間存在條件

式中，W=-(MX0+A0)，X0為未知數的近似值，A0為常量矩陣。組成附條件式的觀測誤差方程分塊矩陣形式為

(19)

B1Z1=L1

(19)1

式中，O為零矩陣。由廣義逆矩陣的定義推論以及唯一性定理得Z1的唯一解為

即

(20)

式中，N11、N12、N21、N22分別為逆矩陣解算后的4塊矩陣。其中，N11為其左上角的n階對稱矩陣。將它們代入式(20)得

(21)

(2) 求平差值及其函數的相關方差矩陣

由式(21)第一式得X?[ATN11+MTN21]L，顧及觀測值li和lj相互獨立、等精度得X相關方差矩陣為

DX=μ2[ATN11+MTN21][ATN11+MTN21]T

(22)

令H1=[ATN11+MTN21]，得

(23)

設一組平差值X的線性函數為

令H2=F[ATN11+MTN21]=FH1，同理得φ相關方差矩陣為

(24)

4.帶未知數的條件平差

(1) 求平差值

設帶未知數的條件方程為

(25)

B2Z2=W

因B2行滿秩，依廣義逆矩陣推論及唯一性定理得Z2的唯一解

即

(26)

(2) 求一組平差值及其函數的相關方差矩陣

① 求一組未知數的相關方差矩陣

由式(26)第一式得

(27)

② 求一組平差值L+V的相關方差矩陣

設一組平差值

(28)

③ 求一組平差值函數的相關方差矩陣

設平差值一組(t個)線性函數為

令H5=[F+FAT[NNT+AAT]-1A+FxNT[NNT+AAT]-1A]

則得平差值一組(t個)線性函數為

(29)

四、各平差模型方差μ2的估值公式

1.條件平差

由式(6)得

V=AT(AAT)-1W?-AT(AAT)-1AL

(30)

上式兩邊取數學期望得

(31)

(32)

于是

VTV=ΔTAT(AAT)-1AAT(AAT)-1AΔ=ΔTAT(AAT)-1AΔ

(33)

(34)

式(34)為條件平差觀測值方差μ2的估值公式，其詳細推導過程可參考文獻[3]。

2.間接平差

(35)

將式(35)減式(15)第一式得

因此

(36)

假設

其對角線上元素分別為

令k1=(at)11+(at)22+…+(at)nn

則得

于是得

(37)

式(37)為間接平差觀測值方差估值的實用公式。其中，k1為G-1G-1對角線上元素之和。因G-1為對稱方陣，將k1展開后不難發現，其和即為G-1中每個元素平方之和。

3.附條件式的間接平差

由式(21)第二式得

V=-N11L+N12W?-N11L

(38)

兩邊取數學期望得

(39)

由式(39)減式(38)得

(40)

上式兩邊取數學期望值得

(41)

將其代入式(41)展開后，兩邊求數學期望值并顧及觀測值相互獨立、等精度得

令k2=(bt)11+(bt)22+…+(bt)nn，于是得

(42)

4.帶未知數的條件平差

由式(26)第二式得

(43)

兩邊取數學期望得

(44)

將式(43)減式(44)得

VTV=ΔTωωΔ

兩邊取數學期望值得

(45)

假設

代入式(45)展開后顧及觀測值相互獨立、等精度得

(46)

式(46)為帶未知數條件平差估值μ2的實用公式。其中k3為ωω矩陣對角線元素之和，其和等于ω各元素平方值之和。因為AT[MMT+AAT]-1在解算V值的過程中已知，將其左乘矩陣A即得ω。

式(34)、式(37)、式(42)和式(46)分別為條件平差、間接平差、附條件式間接平差以及帶未知數條件平差求解觀測值方差的實用公式。

五、結束語

縱觀全文，可看到一整套與最小二乘平差法推理過程完全不一樣的平差方法。這種區別源于兩者立論的基本思想不同。前者依據觀測誤差平方和最小的基本思想出發，運用微分學的基礎知識導出一套最小二乘平差法；后者根據廣義逆矩陣特性及其唯一性定理建立另一套平差法——廣義逆平差法。筆者曾用矩陣代數及其微分理論，按本文討論的4種平差模型演繹過最小二乘平差法全過程[5]，如果將其與本文作一比較，兩者的區別一目了然。在本文中，廣義逆矩陣貫穿在各個平差模型的求解過程中。特別要指出的是，所求的廣義逆矩陣不但唯一，而且可以通過一般的、眾所周知的矩陣求逆方法答解，這就是廣義逆平差法最主要的特點。

[1] 馮浩鑒.廣義逆平差理論及其應用[J].測繪科學，2009,34(4)：5-8.

[2] RAO C R.Linear Statistical Inference and Its Application[M].[S.l.]： John Wileg and Sons Inc，1973.

[3] 馮浩鑒.相關平差概論[M].北京：測繪出版社，1982.

[4] 魏木生.廣義最小二乘問題的理論和計算[M].北京：科學出版社，2006.

[5] 馮浩鑒.矩陣代數在最小二乘法中的應用[J].數學通報，1963(6)：31-36.

Explaining in Detail for Generalized Inverse Adjustment

FENG Haojian

馮浩鑒.廣義逆平差法詳解[J].測繪通報，2015(7)：27-31.

10.13474/j.cnki.11-2246.2015.0204

2015-01-03

馮浩鑒(1936—)，男，研究員，長期從事大地測量、測量平差等方面的研究。E-mail：fangaip@casm.ac.cn

P22

：B

：0494-0911(2015)07-0027-05