關于Diophantine方程x3±1=6pqy2的整數解

杜 先 存

(紅河學院教師教育學院，云南 蒙自 661199)

關于Diophantine方程x3±1=6pqy2的整數解

杜 先 存

(紅河學院教師教育學院，云南 蒙自 661199)

Diophantine方程；平方剩余；整數解；奇素數；遞歸序列；同余式

1 預備知識

方程

x3±1=Dy2(D>0，D無平方因子，x，y∈Z)

(1)

是一類重要而又基本的Diophantine方程，其整數解問題受到廣泛的重視，目前已有眾多結果：

(Ⅰ)D不含6k+1型的質因素時，已有結論如下：

(ⅰ)D不含質數3時，文獻[1]證明了方程(1)只有平凡解；

(ⅱ)D含質數3時，文獻[2]證明了方程(1)只有平凡解.

(Ⅱ)D含一個6k+1型的質因素時，已有結論如下：

(ⅰ)D含質數2時，文獻[3]和文獻[4]分別給出了方程x3-1=26y2，x3+1=38y2的全部整數解；

(ⅱ)D含質數3時，文獻[5]給出了方程(1)僅有平凡解的兩個充分條件；文獻[6]和文獻[7]分別給出了方程x3+1=57y2，x3+1=201y2的全部整數解.

(Ⅲ)D含兩個不同的6k+1型的質因素時，方程(1)的整數解較為困難，目前的結論還不多見，已有結論如下：

(ⅰ)D不含質數2及質數3時，文獻[8]和文獻[9]分別給出了方程x3+1=91y2及x3±1=1 267y2的全部整數解；

(ⅱ)D含質數2或質數3時，關于方程(1)的整數解問題，目前還沒有相關結論.

本文給出了D含質數2，質數3及兩個互異的6k+1型的質因素時，方程(1)只有平凡解的充分條件.

引理1[10]設p是一個奇質數，則丟番圖方程4x4-py2=1除p=3，x=y=1和p=7，x=2，y=3外，無其他的正整數解.

引理2[10]設p是一個奇質數，則丟番圖方程x4-py2=1除p=5，x=3，y=4和p=29，x=99，y=1 820外，無其他的正整數解.

2 主要定理及證明

(ⅰ)p≡1(mod 24)，q≡13(mod 24)；

(ⅱ)p≡1(mod 24)，q≡19(mod 24)；

(ⅲ)p≡7(mod 24)，q≡13(mod 24).

則Diophantine方程

x3-1=6pqy2

(2)

只有平凡解(x，y)=(1，0).

證明 設(x，y)是方程(2)的正整數解，則x≡1(mod 3)，從而gcd(x-1，x2+x+1)=3.又x2+x+1≡0(mod 9)，x2+x+1≡0(mod 2)，故方程(2)給出下面4種可能的情形：

Ⅰx-1=18pqu2，x2+x+1=3v2，y=3uv，gcd(u，v)=1；

Ⅱx-1=18u2，x2+x+1=3pqv2，y=3uv，gcd(u，v)=1；

Ⅲx-1=18pu2，x2+x+1=3qv2，y=3uv，gcd(u，v)=1；

Ⅳx-1=18qu2，x2+x+1=3pv2，y=3uv，gcd(u，v)=1.

以下討論這4種情形所給的方程(2)的整數解.

情形Ⅰ 將x=18pqu2+1代入x2+x+1=3v2，整理得

(2v)2-3(12pqu2+1)2=1.

(3)

12pqu2=yn-1.

(4)

由(4)式得

yn≡1(mod 12).

容易驗證下列各式成立：

yn+2=4yn+1-yn，y0=0，y1=1；

(5)

xn+2=4xn+1-xn，x0=1，x1=2；

(6)

x2n+1≡2(mod 3)，x2n≡1(mod 3)；

(7)

x2n+1≡2(mod 4)，x2n≡1(mod 2)；

(8)

y2n+1≡1(mod 2)，y2n≡0(mod 4).

(9)

對遞歸序列(5)取模12，得周期為12的剩余類序列，且僅當n≡-1(mod 12)，有yn≡-1(mod 12)；n≡1(mod 12)，有yn≡1(mod 12).所以只有n≡1(mod 12)時，(4)式才成立.

6pqu2=x6m+1y6m.

(10)

由(7)與(8)式得，x6m+1≡0(mod 3)，x6m+1≡2(mod 4).又gcd(x6m+1，y6m)=gcd(2x6m+3y6m，y6m)=gcd(2x6m，y6m)=gcd(2，y6m)=2，所以(10)式給出以下4種可能的情形：

(1)x6m+1=2a2，y6m=12pqb2，u=2ab，gcd(a，b)=1；

(2)x6m+1=2pqa2，y6m=12b2，u=2ab，gcd(a，b)=1；

(3)x6m+1=2qa2，y6m=12pb2，u=2ab，gcd(a，b)=1；

(4)x6m+1=2pa2，y6m=12qb2，u=2ab，gcd(a，b)=1.

情形(2) 由y6m=12b2，x3my3m=6b2.又由(7)式，x3m≡0(mod 3)，而gcd(x3m，y3m)=1，故下列情形之一成立：

x3m=c2，y3m=6d2，b=cd，gcd(c，d)=1；

(11)

x3m=2c2，y3m=3d2，b=cd，gcd(c，d)=1.

(12)

情形(3) 由y6m=12pb2得x3my3m=6pb2.又由(7)式得x3m≡0(mod 3)，而gcd(x3m，y3m)=1，故下列情形之一成立：

x3m=c2，y3m=6pd2，b=cd，gcd(c，d)=1；

(13)

x3m=2c2，y3m=3pd2，b=cd，gcd(c，d)=1；

(14)

x3m=pc2，y3m=6d2，b=cd，gcd(c，d)=1；

(15)

x3m=2pc2，y3m=3d2，b=cd，gcd(c，d)=1.

(16)

對于(15)式，將y3m=6d2兩邊取模8得

y3m≡6d2(mod 8).

(17)

對于(16)式，將y3m=3d2兩邊取模8得

y3m≡3d2(mod 8).

(18)

因為x3m=2pc2，p為奇素數，故由(8)式知m為奇數，y3m≡1，7(mod 8).再由y3m=3d2及(9)式，d為奇數，即d2≡1(mod 8).所以(18)式為1，7≡3(mod 8)，矛盾，故該情形方程(2)無整數解.

情形(4) 仿情形(3)的證明可得方程(2)在該情形下也無整數解.

情形Ⅱ 由于u2≡0，1，4(mod 8)，利用同余的性質可得該情形不成立，故方程(2)在該情形下無整數解.

情形Ⅳ 由情形Ⅲ的證明再利用p，q的對稱性可知方程(2)在該情形下也無整數解.

綜上所述，定理1成立.

(ⅰ)p≡1(mod 24)，q≡13(mod 24)；

(ⅱ)p≡7(mod 24)，q≡1(mod 24)；

(ⅲ)p≡19(mod 24)，q≡13(mod 24).

Diophantine方程

x3+1=6pqy2

(19)

只有平凡解(x，y)=(-1，0).

證明 事實上，仿定理1的證明可知方程(19)給出下面4種可能的情形：

Ⅰx+1=18pqu2，x2-x+1=3v2，y=3uv，gcd(u，v)=1；

Ⅱx+1=18u2，x2-x+1=3pqv2，y=3uv，gcd(u，v)=1；

Ⅲx+1=18pu2，x2-x+1=3qv2，y=3uv，gcd(u，v)=1；

Ⅳx+1=18qu2，x2-x+1=3pv2，y=3uv，gcd(u，v)=1.

情形Ⅰ 將x=18pqu2-1代入x2-x+1=3v2，整理得

(2v)2-3(12pqu2-1)2=1.

(20)

仿照定理1的證明可知方程(20)的一切整數解為

為此也只需考慮方程

12pqu2=yn+1.

(21)

由(21)式，yn≡-1(mod 12).因為僅當n≡-1(mod 12)時，有yn≡-1(mod 12)，所以只有當n≡-1(mod 12)時，(21)式才成立.

當n≡-1(mod 12)時，不妨設n=12m-1(m∈Z)，仿定理1的證明可知(21)式可化為

6pqu2=x6m-1y6m.

(22)

由(5)式知，僅當m=0時，y6m=0.又由(6)式知對于任意整數m，均有x6m-1≠0，所以僅當m=0時，x6m-1y6m=0.

m=0時，由(22)式得u=0，此時得出方程(19)的平凡解(x，y)=(-1，0).

m≠0時，仿定理1的(10)式證明可知方程(22)無整數解，故方程(19)在該情形下無整數解.

情形Ⅱ 由于u2≡0，1，4(mod 8)，利用同余的性質可得該情形不成立，故該情形方程(19)無整數解.

情形Ⅳ 由情形Ⅲ的證明再利用p，q的對稱性可知方程(19)也無整數解.

綜上所述，定理2成立.

[1] 柯召，孫琦.關于丟番圖方程x3±1=Dy2[J].中國科學，1981，24(12)：1453-1457.

[2] 柯召，孫琦.關于丟番圖方程x3±1=3Dy2[J].四川大學學報(自然科學版)，1981，18(2)：1-5.

[3] 羅明，黃勇慶.關于不定方程x3-1=26y2[J].西南大學學報(自然科學版)，2007，29(6)：5-7.

[4] 段輝明. 關于不定方程x3+1=38y2[J].華東師范大學學報(自然科學版)，2006，1：35-39.

[5] 杜先存，吳叢博，趙金娥.關于Diophantine方程x3±1=3Dy2[J].沈陽大學學報(自然科學版)，2013，25(1)：84-86.

[6] 段輝明.關于不定方程x3+1=57y2[J].重慶師范大學學報(自然科學版)，2010，27(3)：41-43，72.

[7] 李雙志，羅明.關于不定方程x3+1=201y2[J].西南師范大學學報(自然科學版)，2010，35(1)：11-14.

[8] 杜先存，管訓貴，楊慧章.關于不定方程x3+1=91y2[J].內蒙古師范大學學報(自然科學漢文版)，2013，42(4)：397-399.

[9] 杜先存，萬飛，楊慧章.關于丟番圖方程x3±1=1267y2的整數解[J].數學的實踐與認識，2013，43(15)：288-292.

[10] 曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2012：180，187.

(責任編輯：李亞軍)

On integer solutions of the Diophantine equationx3±1=6pqy2

DU Xian-cun

(College of Teacher Education，Honghe University，Mengzi 661199，China)

Diophantineequation；quadraticremainder；integersolution；oddprime；congruence；recursivesequence

1000-1832(2015)04-0026-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.006

2014-02-07

國家自然科學基金資助項目(11371291)；云南省教育廳科研基金資助項目(2014Y462)；喀什師范學院校級課題((14)2513).

杜先存(1981—)，女，碩士，副教授，主要從事初等數論研究.

O

A