非線性分數階微分方程邊值問題解的存在性和唯一性

張愛華，胡衛敏

(1.伊犁師范學院數學與統計學院，新疆 伊寧 835000；2.菏澤市第二中學，山東 菏澤 274000)

非線性分數階微分方程邊值問題解的存在性和唯一性

張愛華1，2，胡衛敏1

(1.伊犁師范學院數學與統計學院，新疆 伊寧 835000；2.菏澤市第二中學，山東 菏澤 274000)

主要研究了非線性分數階微分方程邊值問題

分數階微分方程；邊值問題；分數階格林函數；不動點定理

0 引言

近年來，分數階微分方程已經成為國內外的一個研究熱點，受到人們越來越多的關注.分數階微分方程不僅具有豐富的理論內涵，還在流體力學、材料力學、等離子體物理學、多孔介質的動力學、黏彈性、大氣海洋運動學、生物學、金融學等方面有著廣泛地應用[1-3].

目前，一些學者應用非線性分析的技巧研究非線性分數階微分方程邊值問題正解的存在性和多重性.文獻[4]研究了非線性分數階微分方程邊值問題

文獻[5]討論了非線性分數階微分方程邊值問題

本文討論了非線性分數階微分方程邊值問題

(1)

1 預備知識

定義1.1[6]函數y:(0，∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分數階積分是指

其中右邊是在(0，∞)上逐點定義的.

定義1.2[7]函數y:(0，∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分數階微分是指

其中右邊是在(0，∞)上逐點定義的.

u(t)=C1tα-1+C2tα-2+…+CNtα-N，

其中Ci∈R為常數，i=1，2，…，N，N是大于或等于α的最小整數.

引理1.2[8]假設u∈C(0，1)∩L(0，1)，且有α>0階分數階導數，則

其中Ci∈R為常數，i=1，2，…，N，N是大于或等于α的最小整數.

引理1.4 給定y∈C[0，1]，2<α≤3，則方程

(2)

(3)

這里G(t，s)稱作邊值問題(2)的格林函數.

證明 由引理1.2和定義1.1，分數階微分方程(2)等價于積分方程

其中C1，C2，C3∈R.因此方程(2)的解為

從而

(α-1)C1tα-2+(α-2)C2tα-3+(α-3)C3tα-4.

由u(0)=u′(0)=0知C2=C3=0，又u(1)=0，所以

綜上，方程(2)的唯一解為

引理1.5 ?t，s∈(0，1)，(3)式定義的函數G(t，s)具有下列性質：

(ⅰ)G(t，s)<0;

證明 (ⅰ) 當0≤t≤s≤1時，顯然G(t，s)<0；當0≤s≤t≤1時，

(t-s)α-1-tα-1(1-s)α-1=(t-s)α-1-(t-ts)α-1<0，

由(3)式顯然G(t，s)<0，結論成立.

定義算子T:X→X，

則分數階邊值問題(1)有解等價于算子方程Tu=u有不動點.

2 主要結果

定理2.1 假設f∈C([0，1]×R2，R)，且存在一個非負函數a(t)∈L[0，1]，使得

其中c1，c2≥0，0

證明 記

其中

?u(t)∈U，μ>-1，由引理1.2，注意到

先證T是連續算子.事實上，若u∈U，un∈U，n=0，1，2，…，并且當n→∞時，有‖un-u‖→0.由f的連續性，當t∈[0，1]時，

因此T是連續算子.又因為

(4)

所以

下面證明T:U→U.

由(4)式得

又有

因為tα-1，tα，tα-β，tα-β-1在[0，1]上都一致連續，所以TU是等度連續的.又TU?U，故一致有界，因此T是全連續算子.由Schauder不動點定理可知，分數階微分方程邊值問題(1)在U中至少有一個解.

定理2.2 假設f∈C([0，1]×R2，R)，且?t∈[0，1]，u1，u2∈X，有g(t)>0，使得函數f(t，u)滿足：

則邊值問題(1)存在唯一解.

證明 由格林函數G(t，s)的定義及f的連續性，?u1，u2∈X，t∈[0，1]，有

由于0<λ<1，故算子T是壓縮的.由Banach壓縮映像原理可知，邊值問題(1)存在唯一解.

[1] KILBAS A A，SRIVASTAVA H M，TRUJILLO J J. Theory and applications of fractional differential equations[M]. Amsterda：Elsevier Science B V，2006:56-90.

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[3] NONNENMACHER T F，METZLER R. On the Riemann-Liouville fractional calculus and some recent applications[J]. Fractals，1995，3(3)：557-566.

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[5] 王剛.分數階微分方程邊值問題解的存在性[J].中國科技論文在線，2010，9:1-4.

[6] 張穩根，胡衛敏，劉剛. 非線性分數階微分方程組奇異對偶系統正解的存在性證明[J]. 東北師大學報(自然科學版)，2015，47(2):14-20.

[7] 張愛華，胡衛敏.一類分數階脈沖微分方程邊值問題的多重正解[J]. 東北師大學報(自然科學版)，2015，47(3):12-18.

[8] BAI Z B，Lü H S. Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation [J].Math Anal Appl，2005，311：495-505.

[9] ZHANG S Q. Positive solutions for boundary-value problems of nonlinear fractional differential equations [J]. Electronic Journal of Differential Equations，2006，36：1-12.

(責任編輯：李亞軍)

Existence and uniqueness of solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation

ZHANG Ai-hua1，2，HU Wei-min1

(1.School of Mathematics and Statistics，Yili Normal University，Yining 835000，China；2.The Second High Middle School of Heze City，Heze 274000，China)

The existence and uniqueness of positive solutions for a nonlinear fractional differential equation boundary-value problem are considered：whereandarethestandardRiemann-Liouvilledifferentiation.SomeexistenceresultsofsolutionsareobtainedbymeansofSchauderfixed-pointtheorem.Then，theuniquenessofsolutionisobtainedbyusingBanachcontractionmapprinciple.

fractionaldifferentialequation；boundary-valueproblem；fractionalGreen’sfunction；fixed-pointtheorem

1000-1832(2015)04-0036-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.008

2014-03-18

新疆維吾爾自治區自然科學基金資助項目(201318101-14).

張愛華(1984—)，女，碩士，主要從事分數階微分方程邊值問題研究；通訊作者：胡衛敏(1968—)，男，教授，主要從事微分方程理論與應用研究.

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