非平穩地震動過程模擬的譜表示-隨機函數方法

劉章軍， 曾 波， 吳林強

(1.三峽大學土木與建筑學院， 湖北 宜昌 443002； 2.三峽大學水利與環境學院， 湖北 宜昌 443002)

非平穩地震動過程模擬的譜表示-隨機函數方法

劉章軍1， 曾 波2， 吳林強2

(1.三峽大學土木與建筑學院， 湖北 宜昌 443002； 2.三峽大學水利與環境學院， 湖北 宜昌 443002)

在Priestley演變譜理論的基礎上，采用隨機函數的思想，建立了一類新的全非平穩過程模擬的譜表示-隨機函數方法。在譜表示-隨機函數方法中，實現了用2個基本隨機變量即可精確表達原隨機過程的目的。通過選取基本隨機變量的離散代表點集，可以直接由演變功率譜密度函數生成具有給定賦得概率的代表性樣本集合。以全非平穩地震動加速度過程的演變功率譜為例，驗證了方法的有效性和優越性。最后，結合概率密度演化方法，進行了Duffing振子的隨機地震反應分析與抗震可靠度計算。

非平穩地震動； 隨機函數； 演變功率譜； 概率密度演化方法； Duffing振子

引 言

在地震工程中，地震動隨機過程的合理描述與建模，是進行結構隨機地震反應分析與抗震可靠度計算的重要基礎。自1947年Housner首次將地震動看作是隨機過程以來，關于隨機地震動的研究得到了廣泛深入的發展[1]。然而，在工程實際中，如結構的非線性隨機地震反應分析，往往需要將地震隨機激勵的頻域模型轉化為時域模型，這激發了人們對隨機過程模擬的研究熱情。在隨機過程的各種模擬方法中，譜表示方法[2-3]由于其理論完善、算法簡單而被廣泛采用，但其計算工作量較大，往往需要對數百上千個隨機變量的模擬才能滿足所需精度，從而極大地增加了工程實際問題的分析難度。為了有效地減少譜表示方法中隨機變量的數量，文獻[4]提出了隨機過程的隨機諧和函數表達，通過采用少量的隨機諧和分量即可獲得精確的目標功率譜密度函數，文獻[5]進一步對譜表示方法的頻率選點進行了優化。

對于非平穩地震動過程的模擬，工程中通常是先模擬平穩地震動過程，然后再利用強度包絡函數非平穩化，這樣得到的地震動過程幅值是非平穩，但頻率仍是平穩的。為此，文獻[6-7]直接由非平穩隨機過程的演變譜表示理論，導出了非平穩地震動過程模擬的一個譜表示方法，其樣本函數是由余弦級數公式計算產生的。然而，該譜表示方法仍然需要高達數百上千個隨機變量才能保證所需的精度。鑒于此，本文在Priestley演變譜理論的基礎上，給出了不同于文獻[6-7]的非平穩隨機過程模擬的另一類譜表示方法，其樣本函數則是由一組標準正交隨機變量的模擬來產生的。同時，采用文獻[8]中隨機函數的思想，將譜表示方法中的標準正交隨機變量表達為基本隨機變量的正交函數形式，從而實現了用2個基本隨機變量來描述原隨機過程的目的，這極大地降低了結構隨機動力反應分析的難度。此外，針對新的建筑抗震設計規范[9]，本文在文獻[10]基礎上建議了一類非平穩地震動過程的演變功率譜模型。本文方法的一個顯著特點，在于通過選取基本隨機變量的離散代表點集，可直接由演變功率譜生成具有給定賦得概率的代表性樣本集合。這一特點有利于與概率密度演化方法[11-12]的有機結合，進而為結構非線性隨機地震反應分析與抗震可靠度計算提供有效的途徑。

1 非平穩隨機過程的譜表示

根據Priestley非平穩隨機過程的演變譜表示理論[13-14]，一個單變量、一維、均值為零的實值非平穩隨機過程f0(t)可表示為如下的積分形式[6-7]

(1)

式中Ut(ω)和Vt(ω)是實值非平穩隨機過程f0(t)的譜過程，且滿足實值非平穩隨機過程譜表示的基本條件：

E[dUt(ω)]=E[dVt(ω)]=0,ω≥0

(2)

(3)

E[dUt(ω)dUt(ω′)]=E[dVt(ω)dVt(ω′)]=0,

ω,ω′≥0;ω≠ω′

(4)

E[dUt(ω)dVt(ω′)]=0,ω,ω′≥0

(5)

式中Sf0(t,ω)為雙邊的演變功率譜密度函數，可以同時調制幅值和頻率。

將式(1)寫成如下的離散形式[6-7]

(6)

式中ωk=kΔω，且頻率間隔Δω需足夠小，使得式(6)可以替代式(1)。

如果增量dUt(ωk)和dVt(ωk)定義為：

(7)

(8)

其中{Xk,Yk}為一組標準的正交隨機變量，即：

(9a)

(9b)

式中E[·]表示數學期望，δjk為Kronecker記號。容易驗證，式(7)～(9)所定義的增量dUt(ωk)和dVt(ωk)滿足式(2)～(5)的基本條件。

對于工程實際問題，雙邊的演變功率譜密度函數Sf0(t,ω)在頻率ω=0時，一般可滿足Sf0(t,ω0)=Sf0(t,0)=0這一條件。于是，將式(7)和(8)代入式(6)中，即可得到實值非平穩隨機過程模擬的第一類譜表示

(10)

這里，用f(t)表示模擬的隨機過程，以區別于原隨機過程f0(t)。這樣，通過保留前N項來逼近原隨機過程，即將原隨機過程的無限隨機度問題近似轉化為有限(2N)隨機度問題。

于是，實值非平穩隨機過程模擬的均方相對誤差可表示為

(11)

式中ωu=NΔω為計算截斷頻率，T為實值非平穩隨機過程的總持續時間。一般地，對于地震動加速度過程，ε(N)值不宜超過0.05。

需要指出的是，在文獻[6-7]提出的非平穩過程模擬的一個譜表示方法中，模擬過程是由N個具有相互獨立隨機相位角的余弦級數疊加而成；在本文方法中，模擬過程則是由2N個標準正交隨機變量來表達的。類似于平穩隨機過程模擬的譜表示方法[15]，可稱式(10)為非平穩過程模擬的第一類譜表示方法，而文獻[6-7]提出的余弦級數公式則稱為第二類譜表示方法。盡管第二類譜表示方法所需隨機變量的數量N，要比第一類譜表示方法所需隨機變量的數量2N少；但第二類譜表示中隨機變量所滿足的條件要更嚴格些。亦即，第二類譜表示中隨機變量必須滿足相互獨立的均勻分布條件，而第一類譜表示中隨機變量僅需滿足式(9)的標準正交性條件，而不必給出其具體的概率分布形式，這為本文采用隨機函數來構造標準正交隨機變量提供了基礎。

2 標準正交隨機變量的隨機函數表達形式

在實值非平穩隨機過程模擬的第一類譜表示式(10)中，{Xk,Yk}(k=1,2,…,N)為一組標準正交隨機變量，必須滿足基本條件式(9)。下面，利用隨機函數的思想[8]，構造標準正交隨機變量{Xk,Yk}的隨機函數表達形式。

(12)

為進一步地構造高斯的標準正交隨機變量，可采用等概率的反變換方法，利用上述標準正交隨機變量的隨機函數表達式(12)，即可構造兩組高斯的標準正交(獨立)隨機變量[8]：

(13a)

(13b)

這樣，通過引入隨機函數形式和映射方式，將模擬隨機過程f(t)的隨機度2N降低為隨機度2。這正如結構動力學中的Rayleigh-Ritz法，通過形狀向量或基向量(約束)的引入，可將高維的多自由度結構系統縮減為低維的結構系統。因此，隨機函數形式和映射方式均可視為是一種約束，通過合理選擇隨機函數形式和映射方式(約束)，能夠有效地減少隨機過程的隨機度，從而極大地降低結構隨機動力分析的難度。

3 非平穩地震動過程的演變功率譜模型

(14)

(15)

式中c為地震動峰值加速度出現的時間，d為控制A(t)形狀的指數；c和d可根據場地類別確定。

(16)

(17)

式中Τ為非平穩地震動加速度過程的總持續時間；參數ω0,ξ0及a,b可根據規范中的場地類別和設計地震分組來確定。

在雙邊的演變功率譜密度函數式(14)中，反映地震動強弱程度的譜參數S0(t)可表示為

(18)

圖1 演變功率譜密度函數Fig.1 Evolutionary power spectral density function

表1 演變功率譜模型參數取值

Tab.1 Parameter values in the evolutionary power spectral model

模型參數設計地震分組場地類別I0I1ⅡⅢⅣ第一組3527．5221611ω0/s-1第二組30251913．59．5第三組2522．516118第一組0．350．40．50．60．7 ξ0第二組0．40．450．550．650．75第三組0．450．50．60．70．8第一組3．13．32．92．852．65 γ第二組2．852．852．752．62．55第三組2．652．62．652．52．45a/s-133．5456 b0．350．30．250．20．15c/s34567d22222地震動總持時T/s1215202530

注：圓頻率單位1/s = rad/s

4 非平穩地震動過程的模擬與驗證

限于篇幅，本文以式(12)生成的非高斯標準正交隨機變量為例來分析。同時，僅考慮地震烈度為8度，設計基本地震加速度PGA=0.2g，場地類別為Ⅲ，設計地震分組為第二組，結構阻尼比為0.05的情況。

如果放松演變功率譜能量隨時間的分布，取其時間平均，即可得到時間平均功率譜密度函數的表達式為[7]

(19)

式中Td為地震動的有效持續時間，本文取Td=14.5 s。

為了生成非平穩地震動加速度過程的代表性樣本集合。首先，需要將相互獨立、均勻分布的基本隨機變量Θ1和Θ2在區間[0,2π)×[0,2π)上選取離散代表點集，本文按華羅庚-王元的數論方法進行選點[18]，其中選點總數s=987，同時計算各代表點的賦得概率。其次，利用隨機函數形式(12)或(13)以及映射方式，可得到譜表示式(10)中的標準正交隨機變量的確定性取值。最后，應用實值非平穩隨機過程模擬的譜表示式(10)，即可生成一系列的代表性樣本時程，同時獲得每條代表性樣本時程的賦得概率。事實上，離散代表點的賦得概率即為對應代表性樣本時程的賦得概率。

在非平穩地震動加速度過程模擬的譜表示中，參數ωu=219.9 rad/s，N=1 800，Δω=0.122 17 rad/s，其均方相對誤差為ε(N)=2.7%，能滿足誤差要求。同時，時間間隔Δt=0.01 s滿足Δt≤π/ωu的條件。圖2為生成的代表性樣本時程，具有非平穩地震動加速度過程的典型特征。

圖3為代表性樣本集合的均值、標準差與目標的均值、標準差比較，從圖中可知，兩者的符合程度比較理想。圖4為樣本集合的功率譜密度函數與按式(19)定義的時間平均功率譜比較，兩者的符合程度也十分理想。這表明，在二階數值統計意義上，樣本集合特性與目標相符。

圖2 代表性樣本時程Fig.2 Generated representative sample function

圖3 樣本集合的均值、標準差與目標的比較Fig.3 Comparison between mean and standard deviation from 987 samples ensemble and from the target

圖4 樣本集合功率譜與時間平均功率譜的比較Fig.4 Comparison between 987 samples ensemble PSD and the time average′s PSD

圖5 樣本集合的反應譜與規范的比較Fig.5 Comparison between 987 samples ensemble′s response spectrum and the code′s response spectrum

圖5給出了用本文方法所得987條代表性樣本時程的均值反應譜與規范反應譜的比較。從比較的結果來看，兩者在長周期部分(大于3 s)有較大差別外，在其他周期部分的擬合程度較好，這是由于規范給出的反應譜在其圖形上經過處理的緣故，尤其是在長周期部分。如果考慮均值反應譜及其1倍標準差的范圍，這樣規范反應譜的大部分能被包含在內。同時，為了能滿足長周期結構的抗震分析需要，可進一步對演變功率譜密度函數中的譜參數S0(t)進行等效修正，即在譜參數S0(t)中乘以一個與結構周期有關的修正系數，從而使代表性樣本集合的均值反應譜與規范給定的反應譜在0～6 s整個周期段內保持一致，這將在后續的研究中加以考慮。

5 Duffing振子的隨機地震反應與抗震可靠度

近年來，概率密度演化理論在線性與非線性多自由度結構的隨機動力反應分析、動力可靠度、體系可靠度計算以及基于可靠度的控制方面，取得了系統的研究進展[11-12]。非平穩地震動過程的譜表示-隨機函數模型與概率密度演化理論相結合，可以實現工程結構的隨機地震反應分析與抗震可靠度計算。

為簡要說明非平穩地震動過程的譜表示-隨機函數模型的工程應用，以Duffing振子為例來加以闡述。Duffing振子[19]是一個經典的非線性振動問題，在隨機地震作用下的運動方程可寫為

(20)

圖6給出相對位移x(t)的隨機地震反應的概率信息，其中圖6(a)為反應的均值與標準差，圖6(b)為典型時刻的概率密度函數，圖6(c)為反應的概率密度演化曲面，圖6(d)為等概率密度線。根據等價極值事件的思想[20]，容易獲得相對位移x(t)的抗震可靠度， 如圖7所示， 其中圖7(a)為等價極值事件的概率密度函數，圖7(b)為等價極值事件的分布函數。事實上，相對位移的等價極值事件的分布函數(縱坐標)即為抗震可靠度。

圖6 結構隨機地震反應的概率信息Fig.6 Probability information of random earthquake response of structure

圖7 等價極值事件計算結構的抗震可靠度Fig.7 The seismic reliability analysis using equivalent extreme value event

6 結 論

地震動隨機過程的合理描述與建模，是進行結構隨機地震反應分析與抗震可靠度計算的重要基礎。本文在Priestley演變譜理論的基礎上，采用隨機函數的思想，建議了一類新的全非平穩地震動過程模擬的譜表示-隨機函數方法，實現了用2個基本隨機變量描述原隨機過程概率特性的目的，從而極大地降低了結構隨機地震反應分析的難度和計算工作量。研究表明，本文方法可以方便地與最新發展的概率密度演化理論相結合，實現復雜工程結構的隨機地震反應和抗震可靠性的精細化分析。

致謝：本文得到了同濟大學土木工程學院李杰教授團隊的指導和幫助，在此向他們表示感謝！

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Simulation of non-stationary ground motion by spectral representation and random functions

LIUZhang-jun1,ZENGBo2,WULin-qiang2

(1.College of Civil Engineering & Architecture, China Three Gorges University, Yichang 443002, China; 2.College of Hydraulic & Environmental Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, China)

Based on the Priestley′s evolutionary spectral representation theory and the idea of random function, a hybrid spectral representation and random function approach is presented to simulate non-stationary stochastic processes. This approach uses two basic random variables to capture accurately the second-order statistics of the original stochastic process. Discrete representative points of the two basic random variables are selected, and representative sample functions with assigned probability are generated directly by the evolutionary power spectral density function. By means of the evolutionary power spectral density function of non-stationary ground motion acceleration process, the effectiveness and advantages of this approach are demonstrated. Finally, combining the probability density evolution method, the random dynamic response and reliability of the Duffing oscillator subjected to stochastic ground motions are investigated.

non-stationary ground motion; random functions; evolutionary power spectral density function; probability density evolution method; Duffing oscillator

2014-02-04；

2014-08-19

國家自然科學基金資助項目(51278282,50808113)；三峽地區地質災害與生態環境湖北省協同創新中心

O324； P315.9

A

1004-4523(2015)03-0411-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.010

劉章軍(1973—)，男，博士，教授，博士生導師。電話： (0717)6392137； E-mail: liuzhangjun73@aliyun.com