改進的自適應算法在諧波檢測中的應用

周美君，王云亮,2

（1.天津理工大學 自動化學院，天津 300384；2.天津市復雜系統控制理論及應用重點實驗室，天津 300384）

0 引言

近年來，由于電力電子技術的高速發展，各種電力電子設備的應用日益廣泛，這些非線性負荷在給人們帶來巨大便利的同時卻給電網造成了嚴重的污染。諧波治理變得尤為重要，傳統的無源濾波器作為一種被動的補償裝置，已經不能滿足電網的要求。有源濾波器（active power filter APF）引起能夠實時的抑制諧波和補償無功，克服了無源濾波器的缺點，在諧波治理方面發揮了重大的作用[1]。因為APF的性能在很大程度上依賴于指令電流的實時、準確檢測。所以，如何快速，準確的獲取諧波電流變得尤為重要。

在多種諧波檢測算法中，基于自適應對消原理的自適應諧波檢測算法因其計算簡單、具有良好的魯棒性和和自學習能力，能對頻率和相位進行精確的跟蹤，在近些年得到了廣泛的重視[2]。最早的LMS自適應算法是由Widrow和Hoff在1960年提出的。但是傳統的定步長LMS算法存在收斂速度和穩態誤差之間的矛盾。所以，有很多學者對變步長LMS算法進行了研究。所謂變步長算法就是當權值遠離最佳值時，步長較大，隨著權值接近最佳值，步長慢慢變小。1992年，Kwong R H等提出Kwong算法，通過均方瞬時誤差e2(n)控制步長的更新。1997年，覃景繁，歐陽景正提出了基于Sigmoid函數LMS算法（SVSLMS） ，2001年，高鷹，謝勝利提出了Sigmoid函數的改進算法。2009年，有學者發現神經網絡中的的另一種s函數與Sigmoid函數具有相似特性的雙曲正切函數也有著與Sigmoid函數作為步長時的優點，因此，提出了以雙曲正切函數實現變步長的LMS算法[3]。但是，它也有Sigmoid函數作為變步長時的缺點即用反饋誤差來調節步長，只適用于高信噪比情況下。基于此，有文獻提出了一種用時間平均估值梯度的自適應濾波算法[4,5]。本文在對這些算法進行研究之后，并且考慮到電網本身所具有低信噪比特性。提出了一種新的基于雙曲正切函數的歸一化最小均方算法。經過仿真驗證，該算法在有效的提高了權值收斂速度的同時，也降低了穩態誤差。能夠較為準確的提取出所需的電流。

1 基于雙曲正切函數的變步長算法

基于雙曲正切函數的變步長LMS算法的表達式如式

(1)所示[6]：

式(1)中，α＞0控制著雙曲正弦函數的形狀，而β＞0控制著該函數的取值范圍，式中的h＞0用來改善函數的底部形狀，基于雙曲正切函數的變步長算法的顯著優點是初始收斂速度快，但是穩態誤差較大。

2 改進的變步長自適應諧波檢測算法

針對雙曲正切函數的變步長算法存在的收斂之后穩態誤差大的缺點，本文提出了一種新的變步長算法。改進的變步長算法利用誤差的均值估計代替誤差來控制步長和權值的更新，同時為了使算法適用于大的動態輸入范圍，引入了歸一化算法，增強了算法的魯棒性。最后，為了進一步的提高收斂速度，引入動量因子。改進的變步長算法如下所示：

式(2)是對誤差的均值估計，式中?是遺忘因子，它是用來調整當前信號在對系統的影響中所占的比重。式(3)中β(n)是控制函數的形狀的。式(4)是步長更新公式，式(5)、式(6)是改進了的權值迭代公式。

3 改進的自適應諧波檢測算法分析

3.1 變步長因子分析

首先來分析收斂條件，為了保證已有系統的穩定性，使得算法能夠收斂，我們需要對步長進行限幅。

μ(n)的取值范圍如式(10)所示，它的表達式如式(7)所示：

其中，μmax=1/λmax，λmax是參考輸入信號自相關矩陣的最大特征值。μmin＞0，是一個較小的正數。μmin的選取應該同時考慮到收斂速度和穩態失調。

3.2 關于參數?、ε、η、α、β、m、k的選取原則

式(2)中?是遺忘因子，它是用來調整當前信號在對系統的影響中所占的比重。一般的0＜?＜1。我們由參考文獻可以得出μ的收斂條件如式(7)所示，β是控制函數的取值范圍的，由式(4)可知，當0＜β＜1/λmax時，則基于雙曲正切函數的變步長算法必定收斂，但是并不是所有滿足這個范圍的β都能使算法的收斂達到很好的效果，理想的β應該使算法在初始階段的時候μ(n)較大，而在權值達到最佳時，應該使得μ(n)很小，所以β應該隨著誤差的變化而變化，固定的β會引起較大的穩態誤差。在式(3)中，關于ε、η的取值，為了保證收斂，二者需要滿足如下條件0＜ε＜1，η的取值很小，一般可在以小到10×10-5數量級左右。式(3)中，β(n)隨著上一時刻的值β(n-1)和誤差的均值估計T(n)的變化而變化,避免了因β固定而引起的穩態誤差。α＞0 控制函數的形狀，α越小，函數底部形狀會越平緩。m＞0用來改善函數的底部形狀以減小穩態失調。一般情況下，m越大，則函數的底部形狀越平緩則能夠減小穩態失調。當然，m也不是越大越好，當m增加到一定程度時，也會引起穩態失調，需要通過實驗來尋找合適的m值。

最后，為了進一步加快算法的收斂速度，引入動量因子k，其中0＜k＜1。進一步加快權值的收斂速度[8]。

4 算法的抗干擾性分析

我們從以往的文獻中已經知道原有的定步長算法存在著穩態誤差和收斂速度之間的矛盾，而基于雙曲正切函數的變步長算法雖然具有較高的動態跟蹤能力，但是由于其用的是系統反饋誤差來更新步長，因而容易受到畸變電流中諧波分量的影響,導致收斂精度較低[9]，詳細的推導過程這里不再贅述。我們這里重點分析改進的變步長算法的抗干擾性。

4.1 誤差均值估計的引入

改進的變步長算法是利用誤差的均值估計來控制步長的更新的，所謂的誤差的均值估計實際上相當于對原有的反饋誤差信號加了一個滑動時間窗，不斷的對窗內的數據進行加權均值計算。這里運用誤差的均值估計是因為在電網的諧波檢測中，穩態電力諧波均值為0，利用誤差的均值估計的濾除負載電流中的畸變了的電流分量而得到實際的跟蹤誤差也即負載電流中的基波分量和通過自適應諧波檢測算法檢測到的基波電流之差。

4.2 歸一化算法的引入

另外，在權值迭代過程中，引入歸一化算法，使算法適應大的動態輸入范圍，在輸入信號有大范圍動態變化時，依然能保持系統的穩定性。其中分母中的c是一個很小的常數，避免出現使分母為0的情況。

5 仿真驗證

為了驗證改進算法的準確性，在MATLAB/simulink上搭建模型進行仿真。在本仿真實驗中，仿真參數選取如下：定步長選取的為μ=0.005，基于雙曲正切函數的變步長算法中，α=30，β=3×10-3，h=100，改進的變步長算法中，?=0.99，ε=0.95，η=3×10-6，α=30，h=100，k=0.3。

首先合成待檢測電流，其包含成分如表1所示，用下面五組數據來進行試驗說明。數據如表1所示、檢測的結果如表2所示。

表1 待檢測諧波分量

表2 三種檢測算法提取基波有功電流畸變率比較

從表2的仿真數據可以看出，三種諧波檢測算法諧波檢測的精度雖然都會受到諧波畸變量的干擾。即當諧波畸變量越高，算法檢測到的波形精度也會相應的變低。但是同等情況下，改進的變步長算法相較于定步長算法和基于雙曲正切函數的變步長算法，改進的變步長算法檢測出的基波有功電流的諧波畸變率是最低的，定步長算法次之，而基于雙曲正切函數的變步長算法是最差的。

下面以50A的基波有功電流，諧波畸變率為27.31%為例進一步來比較三種不同算法檢測出的基波有功電流。來比較三種算法的收斂速度和穩態誤差。合成的待檢測電流波形如圖1所示，其相應的頻譜分析圖如圖2所示。

圖1 待檢測電流波形

圖2 待檢測電流的頻譜分析圖

用三種算法對待檢測電流中的基波有功電流進行提取，提取出的基波有功電流如圖3所示，其中權值的收斂圖如圖4所示。之后再對三種算法穩態跟蹤后的波形進行FFT分析，其頻譜分析圖如圖5、圖6、圖7所示。

在圖3和圖4中，曲線1是傳統的定步長LMS算法，曲線2是基于雙曲正切函數的變步長算法，曲線3是改進的變步長算法，曲線4是參考曲線，即50A的正弦。

圖3 三種算法提取的基波有功電流波形

圖4 三種算法的權值收斂速度曲線

圖5 傳統的定步長LMS算法

圖6 基于雙曲正切函數的變步長算法

圖7 改進的變步長算法

三種算法先從收斂速度來比較，從圖3和圖4可以看出改進的諧波檢測算法檢測到的波形在不到四分之一個周期左右就已經能跟蹤參考波形，原始的變步長算法則在一個半周期開始跟蹤波形，收斂速度最慢的是定步長算法，在將近3個周期才能跟蹤上參考波形。另外從圖4中可以看出，曲線3相比1、2來看，不僅收斂速度快，而且收斂之后曲線的波動比較小，因而穩態誤差也比較小。曲線2的收斂速度雖然有所增加，但是收斂后的波動范圍也是最大的。曲線1收斂后的波動相比于曲線2雖然小了許多，但是它的收斂速度是三者中最慢的。其次從圖5、圖6、圖7的FFT分析圖可以進一步的來分析穩態誤差，三者提取出的基波有功電流的畸變量分別為：傳統的LMS算法為1.32%，而原始的變步長算是三者中最大的，達到了2.60%，而改進的變步長僅為0.42%。

從上面的仿真可以看出，三種諧波檢測算法中改進的變步長算法檢測出的基波有功電流的諧波畸變率是最低。并且在得到較低的畸變率的同時，還能有最快的收斂速度。

6 結論

基于電網諧波檢測速度和準確性兩方面考慮，本文在對傳統的諧波檢測算法進行研究的基礎上，提出了一種新的基于雙曲正切函數的改進諧波檢測算法，該檢測算法以誤差的均值估計來代替系統誤差，以控制步長的更新和權值的迭代，同時為使算法適應大的動態輸入范圍，在權值的迭代過程中引入了歸一化算法。另外，在權值的迭代過程中，引入了動量因子，進一步加快了算法收斂速度。最后，通過仿真驗證，該算法在一定程度上有效的解決了系統的收斂速度和穩態誤差之間的矛盾。

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