統計收斂與Lacunary統計收斂

鮑玲鑫， 官明友

(福建農林大學計算機與信息學院, 福建 福州 350002)

統計收斂與Lacunary統計收斂

鮑玲鑫， 官明友

(福建農林大學計算機與信息學院, 福建 福州 350002)

針對Lacunary統計收斂與經典統計收斂的相容性問題，利用統計測度理論證明了Lacunary統計收斂與經典統計收斂等價的充分必要條件是相應的Lacunary序列是幾何遞增的.

統計收斂； Lacunary統計收斂； 統計測度； 半范數

0 引言

程立新等[6-7]利用幾何泛函分析與Banach空間理論引入了統計測度理論, 并證明了各種具體形式的統計收斂均可用相應的一族統計測度收斂加以刻畫. 給定一族統計測度S, 集合A?N稱為S-零測集是指μ(A)=0對一切μ∈S成立. Banach空間X中的序列(xn)稱為測度S-收斂于x∈X是指對任意的ε>0,A(ε)為S-零測集. 鮑玲鑫等[8]進一步證明了任意一個理想Ι?2N, 存在一族統計測度S使得理想Ι-收斂等價于測度S-收斂.

本文的主要目的是利用文獻[6-8]的一些結果證明Lacunary統計收斂與經典統計收斂等價的充分必要條件是相應的Lacunary序列是幾何遞增的.

1 主要結果

本文中的所有記號都是統一的. 字母X表示實Banach空間. 給定A?N,A的特征函數χA可以看作是l∞中的一個向量, 記χN=e.

關于Lacunary統計收斂、 統計測度收斂與半范數收斂的結果可參考文獻[6-7].

定理1 設(nk)為一個Lacunary序列， 且設(xn)?X以及x∈X.

1) 序列(xn)(經典)統計收斂于x當且僅當(xn)測度ΜK-收斂于x.

2) 序列(xn)Lacunary統計收斂于x當且僅當(xn)測度ΜL-收斂于x.

3)A?N為ΜK(相應地,ΜL)-零測集當且僅當pK(χA)=0 (相應地,pL(χA)=0). 其中ΜK={x*°χ(·):x*∈?pK(e)}及ΜL={x*°χ(·):x*∈?pL(e)}.

注1 定理1中關于半范數、 次微分映射與統計測度等概念的進一步了解可以參考文獻[6-8].

定理2 設(nk)為一個Lacunary序列. 則

從而有

這與充分性條件相矛盾.

由ε的任意性可知pK(x)≤γpL(x).

另一方面，

這與充分性條件相矛盾.

推論1Lacunary序列(nk)是幾何遞增的當且僅當存在兩個正數α,β使得在l∞上成立αpK≤pL≤βpK, 或等價地說,pK與pL是相互等價的半范數.

定理3 設(nk)為一個Lacunary序列. 則由(nk)定義的Lacunary統計收斂與經典統計收斂等價的充分必要條件是(nk)為幾何遞增的.

證明 充分性. 設(nk)為幾何遞增的. 根據推論1可知, 存在兩個正數α,β使得在l∞上成立αpK≤pL≤βpK. 由定理1可知,ΜK與ΜL具有相同的零測集, 即該Lacunary統計收斂與經典統計收斂等價.

必要性. 設由Lacunary序列(nk)所定義的統計收斂與經典的統計收斂等價. 則ΜK與ΜL具有相同的零測集. 根據推論1, 只需證明兩個正數α,β使得在l∞上成立αpK≤pL≤βpK. 等價地, 需要證明

推論2 設(nk)為一個Lacunary序列.

1) 經典統計收斂意味著Lacunary統計收斂當且僅當存在β>0使得pL(x)≤βpK(x)(x∈l∞)成立.

2) Lacunary統計收斂意味著經典統計收斂當且僅當存在α>0使得αpK(x)≤pL(x)(x∈l∞)成立.

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(責任編輯： 林曉)

On statistical convergence and Lacunary statistical convergence

BAO Lingxin, GUAN Mingyou

(School of Computer and Information, Fujian Agriculture and Forestry University, Fuzhou, Fujian 350002, China)

The purpose of this paper is to investigate problems concerning the equivalence between the Lacunary statistical convergence and the classical statistical convergence. By applying the statistical measure theory, we show that a sufficient and necessary condition for a Lacunary statistical convergence to be equivalent to the classical statistical convergence is that the corresponding Lacunary sequence is geometrically increasing.

statistical convergence; Lacunary statistical convergence; statistical measure; seminorm

2015-09-01

鮑玲鑫(1982-)， 講師, 主要從事泛函分析方面研究,bolingxmu@sina.com

國家自然科學基金資助項目(11501108, 11426061)； 福建省自然科學基金資助項目(2015J01579)

10.7631/issn.1000-2243.2015.06.0742

1000-2243(2015)06-0742-04

O177

A