Dirichlet邊界條件下帶有反應項的非局部擴散方程組解的全局存在

張敏華, 曾有棟

(福州大學數學與計算機科學學院, 福建 福州 350116)

Dirichlet邊界條件下帶有反應項的非局部擴散方程組解的全局存在

張敏華, 曾有棟

(福州大學數學與計算機科學學院, 福建 福州 350116)

為研究在Dirichlet邊界條件下帶有反應項的非局部擴散方程組解的相關性質. 利用Banach不動點定理證明了方程組解的局部存在性和唯一性、 并建立比較原理， 得到在一定條件下方程組的解全局存在.

反應項； 非局部擴散； Dirichlet邊界條件； 全局存在

0 引言

主要考慮下列Dirichlet邊界條件下非局部擴散方程組：

注 在問題(1)中擴散是發生在RN中， 但是在文章中假設在區域Ω的外部u,v消失， 這與在Dirichlet邊界條件下的熱方程(見文獻[1])是相類似的.

Garcia Melian[4]中研究了非局部擴散的Fujita指標. 對于方程

對于非局部擴散的問題，Rossi等[5]研究了在Neumann邊界條件下帶有反應項的非局部擴散問題解的爆破：

1 預備知識

為了得到相關結論， 先給出以下的定義. 令γ=min(p,q).

通過改變上述不等號的方向可以定義下解.

為了證明本文定理， 先給出相關的引理， 同時也給出問題(1)解的比較原理. 將通過Banach不動點定理得到問題(1)解的局部存在性和唯一性.

令t0>0是固定的， 并考慮Banach空間

即問題(1)與下列積分方程組是等價的：

于是問題(1)的解(w(x,t),z(x,t))將作為算子Θ(w,z)=(Φ,Ψ)的不動點而得到， 其中Θ(w,z)=(Φ,Ψ)是BR∩Et0到自身的映射.

其中: 當x?Ω時，w(x,t)=0,z(x,t)=0.

證明 首先證明Θ(w,z)是確切的.

同理得到Ψz0(z)關于時間是連續的. 因此得到算子Θ(w,z)=(Φ,Ψ)作為Et0→Et0是適定的.

接下來將證明對于?(w,z)∈BR∩Et0， 得到Θ(w,z)=(Φ,Ψ)是BR∩Et0到自身的嚴格壓縮映射[6].

下證Θ(w,z)是嚴格壓縮的.

同理得到：

則

證明C=max{c1,c2}+1， 且c1,c2是正的有界函數， 那么C<+∞.

因為在t=0或x?Ω時，w(x,t)≥0,z(x,t)≥0. 那么只要證明w(x,t)≥0,z(x,t)≥0， (x,t)∈Ω×(0,T). 令w1=e-Ctw,z1=e-Ctz， 則只要證明w1(x,t)≥0,z1(x,t)≥0. 不失一般性， 假設存在(x0,t0)∈Ω×(0,T)， 使得min{w1(x,t),z1(x,t)}=w1(x0,t0)<0， 則w1(x0,t0)≤w1(x,t),w1(x0,t0)≤z1(x,t). 又因為w1t=-Ce-Ctw+e-Ctwt， 根據引理2中的第一個不等式， 得到：

故在(x0,t0)處有：

接下來的比較原理是引理2的直接結果.

引理4 令(x(t),y(t))是常微分方程組的解：

2 主要結論

證明 根據函數φ1(x)的定義， 很容易驗證w(x,t)=φ1(x)e-λ1t是下列問題的解：

而且， 令φ(t),ψ(t)是下列初始值問題的解：

即：

令f(t)=e[β-λ1(γ-1)]t，x0=φ0,y0=ψ0可知引理4中(x(t),y(t))是問題(5)的上解， 且

[2]可知， 當γ>γ*，pq>1， 只要滿足

同理可得：

參考文獻：

[1]Garcia-MelianJ,RossiJD.Ontheprincipaleigenvalueofsomenonlocaldiffusionoperators[J].JournalofDifferentialEquations, 2009, 246: 21-38.

[2]ZhangGuosheng，WangYifu.CriticalexponentfornonlocaldiffusionequationswithDirichletboundarycondition[J].MathematicalandComputerModelling, 2011, 54: 203-209.

[3]MeierP.Onthecriticalexponentforreation-diffusionequations[J].ArchiveforRationalMechanicsandAnalysis, 1990, 109(1): 63-71.

[4]Garcia-MelianJ,QuirosFernando.Fujitaexponentsforevolutionproblemswithnonlocaldiffusion[J].JournalofEvolutionEquations, 2010, 10(1): 147-161.

[5]Perez-LlanosM,RossiJD.Blow-upforanon-localdiffusionproblemwithneumannboundaryconditionsandareationterm[J].NonlinearAnalysis, 2009, 70: 1 629-1 640.

[6]EscobedoM,HerreroMA.Boundednessandblowupforasemilinearreaction-diffusionsystem[J].JouranlofDifferentialEquations, 1991, 89(1): 176-202.

(責任編輯： 林曉)

Global existence of solutions for a nonlocal diffusion system with a reaction term and a Dirichlet boundary condition

ZHANG Minhua, ZENG Youdong

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou， Fujian 350116, China)

This paper dealt with a nonlocal diffusion system with a reaction term and a Dirichlet boundary condition. We prove the local existence and uniquence via Banach fixed point theorem.And comparison principle is established. Finally, we analyze the global existence of solutions under certain condition.

reaction term; nonlocal diffusion; Dirichlet bounday condition; global existence

2013-05-07

曾有棟(1961-), 教授， 主要從事偏微分方程研究，zengyd@fzu.edu.cn

國家自然科學基金資助項目(60875085)

10.7631/issn.1000-2243.2015.06.0727

1000-2243(2015)06-0727-06

O175.02

A