一類非自治Birkhoff系統的分數維梯度表示

祖啟航，朱建青，張毅

(1.蘇州科技學院 數理學院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州科技學院 土木工程學院，江蘇 蘇州 215011)

一類非自治Birkhoff系統的分數維梯度表示

祖啟航1，朱建青1，張毅2*

(1.蘇州科技學院 數理學院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州科技學院 土木工程學院，江蘇 蘇州 215011)

研究非自治Birkhoff系統階α=2的分數維梯度表示.首先,給出非自治Birkhoff系統和非自治廣義Birkhoff系統成為梯度系統的條件.其次，給出非自治Birkhoff系統和非自治廣義Birkhoff系統成為階α=2的分數維梯度系統的條件，并給出梯度系統勢函數V的表達式.最后，舉例說明結果的應用.

非自治Birkhoff系統；非自治廣義Birkhoff系統；梯度系統；分數維

1 非自治Birkhoff系統的梯度表示

非自治Birkhoff方程表示為[12]

(1)

其中B=B(a,t)為Birkhoff函數，Rμ=Rμ(a,t) 為Birkhoff函數組.如果Birkhoff函數B和Birkhoff函數組Rμ都顯含時間t，則稱為非自治的.

假設系統非奇異，則方程(1)可表為

(2)

一般來說，非自治Birkhoff系統不是一個梯度系統.

如果滿足條件

(3)

以及

(4)

則方程(2)是一個梯度系統.此時，可找到勢函數V=V(a)，使得

(5)

2 非自治Birkhoff系統的分數維梯度表示

非自治Birkhoff系統(2)一般不是一個分數維梯度系統.如果滿足條件

(6)

以及

(7)

則它是一個階α=2的分數維梯度系統.

對滿足條件(6)和(7)的分數維梯度系統，可以找到勢函數V，使得

(8)

例1 某二階Birkhoff系統的Birkhoff函數和Birkhoff函數組為

陳橋驛先生正式發表的地名學論文成果卓越，名文迭出，除了上述所舉論文之外，還有：《地名學與地理教學》(《地理教學參考》1980年5月)、《論浙江省的方言地名》(《浙江學刊》1983年2期)、《浙江省縣(市)名簡考》(《中國歷史地理論叢》1985年1期)、《論地名重合》《論地名重合(續)》(《中國地名》1991年1期、3期)、《中國的非漢語地名——以〈水經注〉記載為例》(《中國方域》1993年3期)、《論中國的非漢語地名》《論中國的非漢語地名(續)》(《中國地名》1998年3期、4期)、《中國古代的地名研究》《中國古代的地名研究(續)》(《中國地名》2000年5期、6期)。

B=a1a2et,R1=a2et,R2=a2et

(9)

這是一個非自治Birkhoff系統.

由式(9)得

(10)

方程(2)給出

(11)

現考察系統(9)是否為梯度系統.當μ=1,ρ=2時，代入式(3)和式(4)

式(3)左端和右端分別為

(12)

(3)式不成立，則系統(9)不是梯度系統.

與此同時，容易驗證式(6)和式(7)成立，則系統(9)是一個階α=2的分數維梯度系統.由此得到勢函數

(13)

3 非自治廣義Birkhoff系統的梯度表示

廣義Birkhoff系統的運動微分方程為[13]

(14)

如果Birkhoff函數B，Birkhoff函數組Rμ以及附加項Λμ都顯含時間t，則稱為非自治的.

(15)

一般而言，非自治廣義Birkhoff系統也不是一個梯度系統.

如果滿足條件

(16)

以及

(17)

則方程(15)是一個梯度系統.此時，可以找到勢函數V=V(a)，使得

(18)

4 非自治廣義Birkhoff系統的分數維梯度表示

非自治廣義Birkhoff系統(15)一般不是一個分數維梯度系統.如果滿足條件

(19)

以及

(20)

則它是一個階α=2的分數維梯度系統.

對滿足條件(19)和(20)的分數維梯度系統，可以找到勢函數V，使得

(21)

例2 某二階Birkhoff系統的Birkhoff函數和Birkhoff函數組為

B=a1a2+t2,R1=a1t2+a2,R2=2a1+a2t2

(22)

附加項為

Λ1=2a1t+a1,Λ2=2a2t

(23)

這是一個非自治廣義Birkhoff系統.

由式(22)得

(24)

由方程(15)給出

(25)

當μ=1,ρ=2時，代入式(16)和式(17).式(16)左端和右端分別為

(26)

(16)式不成立，則系統(22)(23)不是梯度系統.

與此同時,容易驗證式(19)和式(20)成立，則系統(22)(23)是一個階α=2的分數維梯度系統.由此得到勢函數

(27)

5 結 論

本文通過非自治Birkhoff系統和非自治廣義Birkhoff系統成為通常梯度系統的條件，給出其成為二階梯度系統的條件.可將文中的勢函數做為Lyapunov函數來研究系統的穩定性.文獻[10]將分數維梯度系統稱為廣義梯度系統，本文也是對廣義梯度系統的進一步拓展.

[1]TarasovVE.Fractionaldynamics[M].Beijing:HigherEducationPress,2010.

[2]ZhouS,FuJL,LiuYS.Lagrangeequationsofnonholonomicsystemswithfractionalderivatives[J].ChinesePhysicsB,2010,19(12):120301.

[3]梅鳳翔.關于梯度系統[J].力學與實踐,2012, 34(1)：89-90.

[4]梅鳳翔, 吳惠彬.一階Lagrange系統的梯度表示[J].物理學報, 2013, 62(21)：214501.

[5]梅鳳翔, 吳惠彬.廣義Hamilton系統與梯度系統[J].中國科學:物理學 力學 天文學, 2013, 43(4)：538-540.

[6]梅鳳翔, 李彥敏.弱非完整系統的梯度表示和分數維梯度表示[J].商丘師范學院學報, 2011, 27(9)：1-3

[7]梅鳳翔, 吳惠彬.廣義Birkhoff系統的梯度表示[J].動力學與控制學報, 2012,10(4):289-292.

[8]MeiFX,WuHB.BifurcationforthegeneralizedBirkhoffiansystem[J].ChinesePhysicsB, 2015, 24(5)：054501.

[9]梅鳳翔, 吳惠彬.廣義Birkhoff系統與一類組合梯度系統[J].物理學報, 2015,64(18):184501.

[10]梅鳳翔, 崔金超, 吳惠彬.Birkhoff系統的梯度表示和分數維梯度表示[J].北京理工大學學報,2012,32(12):1298-1300.

[11]樓智美, 梅鳳翔.力學系統的二階梯度表示[J].物理學報, 2012,61(2):024502.

[12]梅鳳翔, 史榮昌, 張永發, 吳惠彬.Birkhoff系統動力學[M].北京:北京理工大學出版社,1996.

[13]梅鳳翔.廣義Birkhoff系統動力學[M].北京:北京理工大學出版社,2013.

[責任編輯：徐明忠]

A fractional dimensional gradient representation for a type of non-autonomous Birkhoffian systems

ZU Qihang1, ZHU Jianqing1, ZHANG Yi2*

(1.College of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China； 2.College of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215011, China)

A fractional dimensional gradient representation for a type of non-autonomous Birkhof- fian systems is sutdied.Firstly, the conditions of the non-autonomous Birkhoffian system and the non-autonomous generalized Birkhoffian system as a gradient system are given.Then, the conditions under which the non-autonomous Birkhoffian system and the non-autonomous Birkhoffian system can be considered as a fractional dimensional gradient system are obtained.Beside, the expression of the gradient system potential functionVis given.Finally,two examples are presented to illustrate the application of the results.

non-autonomous Birkhoffian system; non-autonomous generalized Birkhoffian system ;gradient system; fractional dimension

2015-09-18;

2015-10-13

國家自然科學基金資助項目(10972151；11272227)；蘇州科技學院研究生科研創新計劃(SKCX15_061)資助項目

祖啟航(1991-)，男，江蘇泗洪人，蘇州科技學院碩士研究生，主要從事力學中的數學方法的研究.

張毅(1964-)，男，江蘇吳江人，蘇州科技學院教授，博士，博士生導師，主要從事約束系統力學研究.

O316

A

1672-3600(2015)12-0030-04