約束廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與Hojman型守恒量

曹秋鵬

(蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 江蘇 蘇州 215009)

約束廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與Hojman型守恒量

曹秋鵬

(蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 江蘇 蘇州 215009)

建立約束廣義Birkhoff系統(tǒng)的微分方程，給出約束廣義Birkhoff系統(tǒng)Lie對(duì)稱性的確定方程，研究在時(shí)間不變的情況下由其Lie對(duì)稱性導(dǎo)致的Hojman型守恒量，最后舉例說(shuō)明結(jié)果的應(yīng)用.

廣義Birkhoff系統(tǒng); 對(duì)稱性; 守恒量

0 引 言

自1979年Lutzky開(kāi)始研究力學(xué)系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量[1]以來(lái), Lie對(duì)稱性方法的研究得到了迅速的發(fā)展，并取得了一些重要的成果.梅鳳翔研究了各類約束動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性[2].其他一些學(xué)者也做了大量有意義的工作[3-4].作為Hamilton系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)自然推廣的Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究已經(jīng)取得重要進(jìn)展[5], 尤其在其Lie對(duì)稱性研究方面已有一些有意義成果.文獻(xiàn)[6]研究了Birkhoff系統(tǒng)在時(shí)間不變的無(wú)限小變換下的Lie對(duì)稱性以及其導(dǎo)致的Lie對(duì)稱性守恒量.文獻(xiàn)[7]研究了廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性、對(duì)稱性攝動(dòng)與絕熱不變量.梅鳳翔在專著[8]中研究了廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性方法，以及廣義Birkhoff系統(tǒng)Lie對(duì)稱性直接導(dǎo)致的Hojman型守恒量以及間接導(dǎo)致的Noether守恒量.這些文獻(xiàn)均未涉及到受約束情形下的廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性研究.本文進(jìn)一步研究約束廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性，探究了在時(shí)間不變的無(wú)限小變換下Lie對(duì)稱性導(dǎo)致的Hojman型守恒量.給出約束廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性的確定方程以及其導(dǎo)致Hojman型守恒量的條件和Hojman型守恒量的表達(dá)式.

1 約束廣義Birkhoff系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

廣義Pfaff-Birkhoff-d′Alembert原理為

(1)

(2)

對(duì)其變分，得

(3)

設(shè)

(4)

(5)

利用廣義Pfaff-Birkhoff-d′Alembert原理(1)與虛位移方程(3),利用Lagrange乘子法,可得到約束廣義Birkhoff系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：

(6)

由方程(2)和(6)我們可以解出λβ.

2 約束廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性

約束廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性是指在無(wú)限小變換下的一種不變性，取無(wú)限小變換

(7)

其中ξ0,ξμ為無(wú)限小生成元，ε是無(wú)限小參數(shù).

(8)

我們可以得到如下命題

命題1 當(dāng)且僅當(dāng)

(9)

如果

(10)

則方程(6)在(7)式下保持不變.

由方程(8)我們將式(9)寫(xiě)成形式

(11)

方程(11)稱為約束廣義Birkhoff系統(tǒng)Lie對(duì)稱性的確定方程，進(jìn)而得到

命題2 如果無(wú)限小生成元ξ0,ξμ滿足式子(11)，則相應(yīng)的對(duì)稱性為約束廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性.

若時(shí)間是不變的，即ξ0=0，則Lie對(duì)稱性的確定方程變成

(12)

其中

(13)

3 Hojman定理的推廣

對(duì)于時(shí)間不變的特殊情況下Lie對(duì)稱性可導(dǎo)致Hojman型守恒量，我們有命題如下

(14)

則系統(tǒng)有Hojman型守恒量

(15)

證明 將(15)按照方程(6)對(duì)t求導(dǎo)數(shù)得到

我們有以下關(guān)系成立

(16)

將(12)代入(16)，同時(shí)利用(14)有

綜上所述，質(zhì)量管理系統(tǒng)是軍工企業(yè)提高產(chǎn)品質(zhì)量管控的主要保證，對(duì)軍工企業(yè)前進(jìn)與發(fā)展起著關(guān)鍵性影響，而當(dāng)前軍工產(chǎn)品質(zhì)量管理系統(tǒng)在諸多方面還存在一定的不足，如部門(mén)設(shè)置、管理方式等方面，因此，結(jié)合當(dāng)前現(xiàn)狀制定合理、科學(xué)的軍工產(chǎn)品質(zhì)量管理系統(tǒng)優(yōu)化策略至關(guān)重要，從而更好地發(fā)揮質(zhì)量管理系統(tǒng)作用。

因此

命題得證.

4 算 例

已知四階廣義廣義Birkhoff系統(tǒng)，Birkhoff函數(shù)組和Birkhoff函數(shù)是

R1=R2=0，R3=a1，R4=a2,

附加項(xiàng)為

Λ1=a1+a3，Λ2=a2+a3，Λ3=a2+a3，Λ4=a2+a4,

(17)

約束方程

f1=a1+a2=0，f2=a3+a4=0,

(18)

試由Lie對(duì)稱性導(dǎo)出Hojman型守恒量.

由式子(6)我們得到

(19)

由(18)和(19)解出

然后建立確定方程，由確定方程(12)可以得到

有如下解

ξ1=ξ2=ξ3=ξ4=1,

式子(14)給出

它有解如下

μ=a1,

則由守恒量(15)得到

5 結(jié) 論

對(duì)于約束廣義Birkhoff系統(tǒng)如果無(wú)限小生成元ξ0,ξμ, 滿足確定方程(11), 則相應(yīng)的對(duì)稱性為L(zhǎng)ie對(duì)稱性.如果考慮時(shí)間不變則此時(shí)Lie對(duì)稱性可導(dǎo)致出形如(15)式的Hojman型守恒量.

[1]LutzkyM.DynamicalSymmetriesandConservedQuantities[J].J.Phys.,A：Math.Gen.,1979,12 (7)：973-981.

[2]梅鳳翔.李群和李代數(shù)對(duì)約束力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社, 1999.

[3]Jian-HuiF,YongP,Xiang-HongY.LieSymmetricalHojmanConservedQuantityofRelativisticMechanicalSystem[J].CommunicationsinTheoreticalPhysics, 2005, 43(6)：1053-1055.

[4]HanY,WangX,ZhangM,etal.LiesymmetryandapproximateHojmanconservedquantityofAppellequationsforaweaklynonholonomicsystem[J].NonlinearDynamics, 2013, 71(3)：401-408.

[5]SantilliRM.FoundationofTheoreticalMechanicsⅡ[M].NewYork：Springer-Verlag, 1983.

[6]張毅.Birkhoff系統(tǒng)的一類Lie對(duì)稱性守恒量[J].物理學(xué)報(bào), 2002, 51 (3) ：461-464.

[7]LiYanmin.LieSymmetries,PerturbationtoSymmetriesandAdiabaticInvariantsofaGeneralizedBirkhoffSystem[J].ChinesePhysicsLetters, 2010, 27(1)：010202-1-4.

[8]梅鳳翔.分析力學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社, 2013.

[責(zé)任編輯：徐明忠]

Lie symmetry and Hojman conserved quantity for a generalized Birkhoff system with constraints

CAO Qiupeng

(School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China)

The differential equations of the generalized Birkhoff system with constraints are established.The determining equations corresponding to the Lie symmetry are given.The Hojman conserved quantity is discussed which determined by Lie symmetry under time-invariant.In the end an example is given to illustrate the application of the results.

generalized Birkhoff system; symmetry; conserved quantity

2015-07-22；

2015-07-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(No.11372169)

曹秋鵬(1991-), 男, 江蘇南通人,蘇州科技學(xué)院碩士研究生, 主要從事數(shù)學(xué)物理研究.

O316

A

1672-3600(2015)12-0034-04