常微分方程教學中數(shù)學建模與應用能力的培養(yǎng)

周霞　水莉莉　張德然

摘 要 常微分方程理論具有較強的應用性，導致教學過程中容易過多強調理論的嚴密性而忽視實踐性與應用性的教學現(xiàn)狀，本文從優(yōu)化教學內(nèi)容、改進教學方法及制定多元的評價模式三個方面入手探索常微分方程教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力和應用能力。

關鍵詞 常微分方程 數(shù)學建模能力 應用能力

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.03.051

Training Mathematical Modeling Ability and Application Ability

in the Teaching of Ordinary Differential Equation

ZHOU Xia[1][2]， SHUI Lili[3]， ZHANG Deran[1]

（[1]School of Mathematics and Statistics， Fuyang Teachers College， Fuyang， Anhui 236037;

[2]Graduate School of Fuyang Teachers College，F(xiàn)uyang， Anhui 236037;

[3]The Attached Middle School of Fuyang Teachers College， Fuyang， Anhui， 236037）

Abstract In view of the fact that the ordinary differential equation theory is very applicable in real-life practice， while in the teaching process， it is liable to put too much emphasis on theory of leakproofness and ignore the practicality and applicability. This paper from optimizing the teaching content， improving teaching methods， applying ability three aspects discussed how to train students' ability of mathematical modeling and application during the teaching of the ordinary differential equation.

Key words ordinary differential equation; mathematical modeling ability; application ability

常微分方程是17世紀誕生的一門數(shù)學課程，對先修課程及后繼課程起著承前啟后的作用，也是偏微分方程、泛函微分方程、動力系統(tǒng)、控制理論、變分法等數(shù)學分支的基礎。高師院校常微分方程課程教學的現(xiàn)狀是過多強調理論，淡化甚至忽視其實踐性和應用性，缺乏對學生動手、建模、應用知識及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，導致對這門課程的功能不甚了解，甚至建立簡單的常微分方程數(shù)學模型都顯得非常吃力。常微分方程架起了現(xiàn)實生活和抽象數(shù)學之橋梁，數(shù)學建模是對現(xiàn)實世界的本質反映和科學抽象，在常微分方程課程中融入數(shù)學建模思想，培養(yǎng)學生的建模能力與應用能力勢在必行。因此，我們認為在常微分方程教學過程中可通過以下途徑培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力與應用能力。

1 優(yōu)化教學內(nèi)容

1.1 教學過程中適當刪減理論性偏強和過程繁瑣的證明

根據(jù)教學大綱確定的理論體系和知識單元，在吃透教材內(nèi)容的基礎上對教學內(nèi)容進行適當刪減，保證課程體系更科學，更適合學生應用能力的培養(yǎng)。目前，《常微分方程》教材都重視基礎理論內(nèi)容，難度較大，內(nèi)容處理過于抽象，證明過程繁瑣，應用方面的內(nèi)容涉及較少，造成教學內(nèi)容與實際的嚴重脫節(jié)，不利于學生數(shù)學建模能力和（應用知識）能力的培養(yǎng)。在具體的課程教學中我院使用的教材是王高雄等編著的“十一五”國家級規(guī)劃教材《常微分方程》（第三版）。在教學中，以生為本，對教材作如下處理：第三章中解對初值的連續(xù)可微性只講述定理條件和結論，證明過程;第五章中存在唯一性定理只介紹定理內(nèi)容，不給予證明;對第四章和第五章內(nèi)容進行調整，先講第五章再講第四章，把高階微分方程看作微分方程組的特殊，這樣第四章的許多公式和定理就必證明了。一方面，刪掉一些枯燥的、理論性強的、繁瑣的證明以免學生產(chǎn)生厭學情緒。另一方面，適當刪減理論性偏強和過程繁瑣的證明，節(jié)約課時。將最新研究成果及其應用前景納入教學內(nèi)容，激發(fā)學生興趣，引導學生從數(shù)學理論到現(xiàn)實問題的“實現(xiàn)過程”也即數(shù)學建模過程，培養(yǎng)其數(shù)學建模能力與應用能力。

1.2 教學過程中適當充實應用素材，合理引入常微分方程的數(shù)學模型

以實際問題為案例，引導學生圍繞實際問題運用常微分方程建構數(shù)學模式，有意識地將數(shù)學理論、方法有機地結合起來，在常微分方程教學中融入數(shù)學建模思想，培養(yǎng)學生的應用能力特別是數(shù)學建模能力。根據(jù)具體章節(jié)內(nèi)容選擇適當?shù)陌咐瑖@問題及其背景，給出方程式，運用常微分方程知識完成最優(yōu)解答。在此基礎上，回到問題情境中解釋相關問題，通過理論、方程和實踐的反復操練，讓學生更好地了解如何運用所學知識來解決實際問題，提高學生學習興趣，同時培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力和應用能力。

1.3 教學過程中介紹用Matlab、Mathenatic、Maple等數(shù)學軟件求解常微分方程（組）

大多數(shù)的常微分方程需要密切配合Matlab、Mathenatic、Maple等數(shù)學軟件的使用（增加：來求得解析解）。應用這些數(shù)學軟件中的符號計算功能直接求解某些常微分方程，通過計算機數(shù)值計算和繪圖迅速了解或者探討某些常微方程的性態(tài)。結合計算機和數(shù)學軟件進行常微分方程的求解，激發(fā)學生自己解決實際問題的欲望，培養(yǎng)其動手能力和綜合應用能力。

1.4 教學過程中增加實驗課容量

數(shù)學實驗是為獲得某種數(shù)學理論、探求或驗證某個數(shù)學猜想、解決某類數(shù)學問題，運用一定的物質技術手段，經(jīng)由數(shù)學思維活動的參與，在典型的環(huán)境中或特定的條件下進行的一種數(shù)學實踐活動。①目前的常微分方程教材在數(shù)學實驗內(nèi)容的設計方面很缺乏，可在教學過程中適當?shù)脑黾訑?shù)學實驗內(nèi)容。在完成第五章學習后，選擇不同的現(xiàn)實問題，給出相關文獻資料，讓學生依其感興趣的問題建立模型，用所學過的方法求出方程的解析解或結合數(shù)學軟件求出數(shù)值解或者方程的性態(tài)，根據(jù)結果解釋或者指導實際問題，從而解決實際問題。

2 改進教學方法

2.1 以啟發(fā)式和討論式模式展開教學

啟發(fā)式和討論式教學模式，是常微分方程課程應努力探索的教學模式，它要求改變以往教師的主導地位，建構新型師生關系，提倡師生、生生互動。應根據(jù)教學任務和學習的客觀規(guī)律，從學生實際出發(fā)，靈活應用各種方法調動學生思考、分析、解決問題的能動性和積極性，達到培養(yǎng)學生的綜合能力的目的。②課程教學過程是師生共同創(chuàng)造性勞動的過程。教師在這個過程中，應不斷確立學生的主體地位，喚起學生主體意識，發(fā)揮學生主觀能動性，根據(jù)具體教學內(nèi)容采用適當方式進行師生互動，生生互動。選取一些與學生生活息息相關的問題，設計與教學內(nèi)容相關的合理問題串，讓學生從實際問題背景出發(fā)，進行討論，做出合理假設，選擇適當變量，根據(jù)規(guī)律、列出并求解微分方程，解決實際問題，這種啟發(fā)式和討論式教學讓學生從被動學習變?yōu)橹鲃訉W習。學生有了學習興趣，又對實際問題有分析理解能力，再加上數(shù)學建模能力與應用能力，就可以將實際問題轉換為數(shù)學模型，再利用數(shù)學軟件這個平臺，最終解決實際問題。

2.2 以實際問題的解決為導向展開教學

微分方程的特點在于運用理論知識解決現(xiàn)實問題，因此，利用利用教材③中的理論和思想方法，以實際問題的解決為導向展開實踐教學是切實可行的。如典型的常微分方程模型：RLC電路模型、數(shù)學擺模型、人口模型、傳染病模型、生態(tài)模型、lorenz方程模型;現(xiàn)實生活中這樣的例子很多，如：經(jīng)濟增長模型、交通模型、判別藝術真?zhèn)文Ｐ汀熿F的擴散與消失模型;④還有溶液濃度模型、時間估計模型、放射性元素衰變模型、最佳銷售時機模型等。學生根據(jù)實例，在老師引導下，建立反映實際問題的微分方程，提出此微分方程有解的相關條件，然后求解，獲取解決實際問題的“鑰匙”。選擇合適案例進行案例教學，既能培養(yǎng)學生提高圍繞問題開展建模的能力，又讓學生在數(shù)學理論的學習中獲得解決問題的樂趣。

2.3 注重教學手段的多樣化

常微分方程的特點決定既不能完全廢棄傳統(tǒng)的教學手段——“黑板+粉筆”，又不能完全地依賴多媒體展開教學，應將黑板、粉筆和多媒體有機地結合起來，針對不同的內(nèi)容，科學地選擇，有效地組織教學。對于抽象性強，思維難度大的定理證明、推導及例題的講解，采用傳統(tǒng)的“黑板+粉筆”板書，老師邊板書邊分析講解，學生邊思考邊理解，達到師生同步思維;而對于一些問題的引入、背景分析、定理定義的表述、例題習題的解決以及一些應用性問題的討論，則借助現(xiàn)代多媒體教學手段，靈活選擇Matlab、Mathenatic、Maple等數(shù)學軟件開展教學，培養(yǎng)學生的建模意識和運用數(shù)學思維、方法解決實際問題的能力，擴大課堂容量，直觀、生動地將內(nèi)容展現(xiàn)給學生，以多樣化的教學手段，實現(xiàn)課程的優(yōu)化教學。

3 制定多元的評價模式

評價機制是學習的向導，構建學生和諧發(fā)展取向的、多元的、客觀的評價機制，客觀的評價模式能有效調動學生的學習積極性，培養(yǎng)學生運用數(shù)學建模解決實際問題的能力。傳統(tǒng)的評價機制過分強調常微分方程所學的知識理論的推演，常微分課程的考核都是期末以閉卷的形式進行考試，試題往往側重于基本理論知識的考查而忽視了對學生運用理論知識解決實際問題的能力的考查，重理論而輕實踐，重識記而輕應用的是其最大弊端，這樣的考查，在無形中偏離了常微分方程的教學目標，無益于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。

為改變當前常微分方程課程考核的現(xiàn)狀，必須對考核方式及命題內(nèi)容進行改革，我們認為，可以嘗試著推行“50+50”的評價模式，即期末成績占50%，平時成績占50%。期末考試命題適當?shù)貏h減煩瑣的演算，增加一些開放型的應用題，考查學生從實際出發(fā)，建立模型，求解問題并解釋問題的能力，讓學生意識到重在知識的應用和創(chuàng)造，要經(jīng)常應用數(shù)學的思想方法去分析解決實際問題，使學生知道怎么學會書本知識以及怎么應用知識，加大對學生綜合應用知識能力的考查力度。平時成績的50%可以分為：平時作業(yè)占10%，課堂師生互動占10%，小論文占30%。小論文形式多樣，要求學生從實際問題出發(fā)，合理運用所學知識，借助各種數(shù)學軟件，建構數(shù)學模型并求解以解決實際問題。小論文可獨立完成，也可以三人小組合作完成，培養(yǎng)學生的團隊合作精神，有利于數(shù)學建模競賽。毫無疑問，這種評價模式改變了期末考試定終身的考試模式，逐漸重視知識的應用，有利于培養(yǎng)學生的知識應用能力。

項目和編號為：阜陽師范學院基礎教育研究專項項目（2013JCJY08）， 安徽省重大教學改革研究項目（2014zdjy082）， 安徽省教學質量與教學改革項目（2012jyxm334）

注釋

① 邵光華，卞忠運.數(shù)學實驗的理論研究與實踐[J].課程.教材.教法，2007.27（3）：39-43.

② 李耀紅，李秀蘭，魏章志.常微分方程課程啟發(fā)式教學探討[J].宿州學院學報，2011.26（11）：100-102.

③ 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.7.

④ [美]WILLIAN F LUCAS.微分方程模型[M].朱煜民，周宇虹，譯.長沙：國防科技大學出版社，1988.