初中數學發生教學法的策略與應用
——以北師大版“字母表示數”為例

☉華中師范大學教育學院 張俊忠

初中數學發生教學法的策略與應用
——以北師大版“字母表示數”為例

☉華中師范大學教育學院 張俊忠

德國生物學家?？藸栐?866年提出了“生物發生原理”，即“個體發育史重蹈種族發展史”.將此類推于數學教育將得出：個體對數學知識的理解過程遵循數學知識的發生、發展過程.把數學史作為教學線索，不明確地談論數學史，用數學史來啟示教學，這就是數學發生教學法.

一、發生教學法的策略

運用發生教學法進行教學設計的關鍵在于教師，對教師的要求是：（1）要全面了解所教主題的歷史；（2）要理解該主題歷史發展過程中的關鍵環節；（3）掌握一個環節發展到下一個環節的原因是什么，遇到的困難和障礙是什么；（4）重構歷史環節，使其適合于課堂教學；（5）設計出一系列由易到難、環環相扣的問題.

具體實施時，可以分為四個階段.（1）創設問題情境：思維和認知過程的起源是構造問題情景的最佳方式；（2）自然引出新問題：思考和理解的第一步是產生問題，而且每解決一個問題就會產生新的問題，在解決了最初的問題之后，還需要不斷思考新的、自然出現的問題；（3）分析學生的認知需求：確定學生思維能力的水平，估計過程中可能存在的困難，重要的是尋求激發學生學習動機的方法；（4）重構歷史順序：在現代教學背景下重構關鍵的思想和問題，以發生的歷史過程解釋概念、理論或關鍵思想后面的動機.

二、發生教學法的應用

以北師大版七年級數學上冊第三章“整式及其加減”第一節“字母表示數”為例，介紹發生教學法的具體過程.

（一）全面了解“字母表示數”的歷史

19世紀德國數學史家內塞爾曼在《希臘代數》中將代數學的發展分成三個階段：修辭代數、縮略代數和符號代數.

修辭代數階段，人們沒有使用符號表示數，所有問題的解決都用文字來說明，如古巴比倫泥版BM13901上有七個問題，其中第1題是：“將正方形面積與邊長相加，和為，求邊長.”解法是：置系數1，半之，得乘，得相加，得1；此為1的平方，從1中減去即為正方形邊長.”

在古希臘，畢達哥拉斯學派（公元前六世紀）研究了多邊形數，數學家們能輕易說出一個具體的多邊形數.由于不知道字母表示數，他們無法表達“任一三角形數”.同樣數列的“通項”概念在修辭代數里是根本不存在的，所有數列求和的結果都是針對具體的若干項.古代兩河流域、阿拉伯的代數學均屬于修辭代數.

公元三世紀，古希臘數學家丟番圖在《算術》中首次用字母“ζ”來表示未知數，于是丟番圖成為縮略代數最早的作者.在《算術》第1卷中，第1題是：“已知兩數的和與差，求這兩個數.”丟番圖的解法是：假設和為100，差為40，較小數為ζ，則較大數為40+ζ，則2ζ+40=100，故得ζ=30，而較大數為70.后來，使用不同的字母表示不同的數，但是可以看到字母總是表示未知數.由于不知道用字母也可以表示任意已知數，丟番圖只能用特殊的數來代替題中的已知數.

古代印度數學家使用縮略的梵文音節來表示未知數，沒有用縮略音節來表示任意數（包括已知數和未知數）.如印度數學家婆什伽羅（1114-1185年）和古希臘數學家一樣，不會用字母來表達“任意多項”和一般項，只是取一些特殊的項數，且通項公式和求和公式都是用文字來描述，因此古代印度的代數屬于縮略代數.

中國宋元時期的數學家使用“天元”來表示未知數，“二元一次方程”中的“元”指的就是未知數.在“天元術”中，通過系數的縱向有序排列來表達多項式，在常數項右邊標一“太”字，或只在一次項系數的右邊標一“元”字，中國宋元時期的“天元術”最多也只能歸入縮略代數.

公元十六世紀，法國數學家韋達（1540-1603年）實現了歷史性的突破，在《分析引論》（1591年）中使用字母來表示未知數和已知數.他說：“本書將輔以某種技巧，通過符號來區分未知量和已知量：用A或其他元音字母I、O、V、Y等來表示所求量，用B、G、D或其他輔音字母來表示已知量，始終如一，一目了然”，并將這種新的代數叫“類的算術”，以區別于過去的“數的算術”，“類的算術”就是符號代數.規定了算術與代數的分界，認為代數運算施行于事物的類或形式，算術運算施行于具體的數.這就使代數成為研究一般類型的形式和方程的學問.法國數學家笛卡爾（1596-1650年）對韋達的符號系統進行了改進.

（二）“縮略代數”到“符號代數”是關鍵

“縮略代數”階段以字母表示未知數為典型特征，丟番圖是這一時期的典型代表人物.隨后印度數學家阿里耶波（476-550年）等雖朝向“符號代數”有所接近，但只在字母表示數的類型與方程解的一般性上做出了貢獻，而不是嘗試表達“任意數”.在丟番圖之后一千多年間，歐洲人不僅沒有進步，反而倒退回古巴比倫祭司的水平，即修辭代數階段.如13世紀初，意大利數學家斐波納契在《計算之書》中，依然沒有用字母來表示數.16世紀，意大利數學家盡管在方程的求解上取得突破，但仍未利用字母表示數的便利.塔塔里亞（1499-1557年）為了不遺忘所發現的三次方程求根公式，自編長詩.

中世紀阿拉伯的數學家盡管在數列求和方面取得了卓越的成就，但是他們不會用字母來表示數，他們只能通過具體的若干項來說明求和的方法.雖然“代數學”的名稱源于花拉子米（約780-約850年）的著作，而花拉子米卻用“1平方與10根等于39單位”這樣的語言來描述一元二次方程x2+10x=39.

“字母表示數”經歷了三千多年的歷史過程，經過許多數學家的探索和完善.誠如M.克萊因對“新數運動”的批判：從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達和笛卡兒以前，沒有一個數學家能意識到字母可用來代表一類數.因此，這樣的過渡仍然需要經歷緩慢的過程而非一蹴而就.

（三）學生學習的障礙和困惑

在長期的算術學習中，學生形成的認知與代數學習有較大的差別，“字母表示數”意義的多樣性與不確定性是造成學生學習代數的主要障礙.字母意義的演變過程為：記數符號—未知數—任意數.隨著人們對字母意義認識水平的提高，字母表示數的功能逐步得到發展與完善，這是一個漫長的過程.因此學生在學習“字母表示數”的時候會遇到許多困難，主要表現為：不同字母可以取同一個值；同一個字母在不同時刻可以取不同的值；同一字母在不同問題中可以取不同的值；在同一題中不同的數要用不同字母表示；字母不一定表示對象，也可以表示單位（如m可以表示米）等.

（四）根據歷史，重構課堂

1.創設情境，引入新知

情境1：寫一列數“1，5，9，x，17，21”，請問：x表示什么數？讓學生體會，在以前的學習中，字母更多地表示特定的未知數.

情境2：例如，一只白兔四條腿，兩只白兔八條腿……

師：你們能一直讀下去嗎？

生1：三只白兔十二條腿，四只白兔十六條腿……

師：能不能用一句話表示這首歌？

生2：a只白兔4×a條腿.

生3：b只白兔4×b條腿.

生4：x只白兔4×x條腿.

師：大家的想法比較一致，用字母表示.為什么這里的“4”不用字母表示？

生4：每只白兔有4條腿，這是不變的.

師：用字母表示數不是簡單地用字母代替數，可以把變化的量用字母表示，不變的量照寫.

師：剛才我們說的十二、十六都是其中的一種情況，那現在的“4×x”呢？

生5：所有的情況.

生6：各種不同的情況.

師：這里的字母表面上看只是一個字母，但是它可以代表無數個數.

師：回想一下剛才我們所經歷的過程，你覺得字母只是代表特定的未知數嗎？

生：不是.

師：那現在代表什么？

生7：不是特定的.

生8：不確定了.

生9：是變化的.

生10：表示許多數了.

師：對！現在字母表示的是變化的未知數.此時的字母可以表示任意數嗎？

生11：不可以.

師：對，只能是什么數？

生11：正整數.

師：那字母還只是表示未知數嗎？

生11：不只是，可以表示已知數了.

師：既然是已知數，為什么還要用字母表示？

生11：因為正整數很多，我們不能確定它到底是多少.

生12：因為它有很多個.

師：這樣的數太多了，用一個字母把它們都概括進來了.由此可知，字母可以表示：特定的未知數、變化的未知數、已知數.

2.自主探索，展示過程

師：我們來數由正方形組成的幾個圖形中火柴棒的根數！

師：這些圖形中分別有多少根火柴棒？

生1：4根、7根、10根、……

師：如果擺10個這樣的小正方形，又有多少根火柴棒？

生2：31根火柴棒，我是畫圖一根一根數出來的.

師：很好，你完成得很認真.還有其他的方法嗎？

生3：如果有200個這樣的正方形，我們畫圖形去數，這方便嗎？這個方法肯定不是最科學的.我認為應該尋找規律，這個問題就像我們鋸木材：每個正方形相當于一段木頭，而除了兩端的兩根火柴棒外，中間的都相當于鋸口，而且鋸口數正好是木頭段數減去1.所以應該用4乘以正方形個數再減去重疊的火柴棒的根數，就是4× 10-（10-1）＝31.

師：還有其他的方法嗎？

生4：我還有另一種方法，結果也得31.

師：說說你的看法！

生4：既然有10個這樣的正方形，那么上面應有10根火柴棒，下面也有10根，而中間的算法與之類似，不過應該比木頭段數多1，是11根，這樣2×10+11＝31.

師：大家聽懂了嗎？

生眾：聽懂了.

生5：我認為他們的辦法太麻煩了.既然是10個正方形組成的圖形，用手把最左邊的那根火柴棒蓋上不看，右邊就是10個由3根火柴棒組成的框，就是10×3，再加上1根，這樣10×3+1=31.不論由多少個正方形組成的圖形，用這種方法都能算出來，就是用3乘以正方形個數再加上1.

師：你們的想法都很不錯.既然你們談到任何多個正方形組成的圖形，那么我們怎樣表示任何多個正方形呢？

生6：任何多個，就是大家也不知道有多少個，用小學時學過的x吧！

生7：我們還可以用m、n、….

師：如果擺x個正方形，那么需要多少根火柴棒？

生3：按我的方法，應該是4x-（x-1）.

生4：按我的想法，應該是2x+（x+1）.

生5：按我的想法，應該是3x+1.

師：這三種方法都表示了這個問題的結論，用字母表示的好處是什么？

生8：這樣更具有一般性.

師：那么以前我們學過的加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律，簡單圖形的周長、面積公式，可以用字母表示嗎？

生：當然可以，不過要用到很多字母.

3.拓展延伸，鞏固新知

師：下面的練習是“編故事”.故事的主角是“a×5”.如果a表示一張桌子的重量，那么a×5表示什么意義？

生1：5張桌子的重量.

師：而且是5張同樣的桌子的重量.哪個同學來編？

（學生們用a代表各種數量，說了“a×5”的含義）

師：大家把“a×5”講得這樣豐富多彩，老師也來講個這方面的歷史故事.

師：在歷史上，數量和數量之間的關系，我們人類最初是用文字表達的（如：每張重量×5，每段長度×5，每組人數×5）.用文字來表達，顯然比較煩瑣.因而，古希臘數學家丟番圖想到了用“縮略”的方法來表示.仿照丟番圖的方法，這里的“每個重量×5”，取“重”發音的第一個字母，表示成“z×5”.那么“每段長度×5”和“每組人數×5”怎樣用縮略的方法表示？

生2：c×5和r×5.

師：丟番圖用字母的縮略形式來表示數量間的關系，雖然簡潔了，但每個字母都表示特定的意思，不能把c×5和r×5等同，所以并沒有給研究數學帶來更多方便.到了16世紀，法國數學家韋達想，如果把各種情境中字母的特定意思都去掉，不都是一個數和5相乘嗎？所以韋達就表示成了a×5.這里的a還是特定的意思嗎？

生眾：不是！

師：對，字母a已經不表示任何具體的意義，只是一個符號而已.自從韋達把字母當作符號來表示數之后，許多數學難題得到解決，數學獲得飛速發展，韋達被稱為現代代數學之父.

4.實踐應用，歸納小結

例1（1）若長方形的長為7cm，寬為xcm，則周長為_______cm，面積為_______cm2.

（2）甲、乙兩地相距s千米，某人從甲地到乙地步行要t小時，現要求他提前30分鐘到，此人步行的速度為_______千米/時.

例2已知兩個數的和與這兩個數的差，求這兩個數.

補充：修辭代數解法：其中一個數是和與差的和的一半，另一個數是和與差的差的一半.

縮略代數的解法：以丟番圖的解法為代表.設和為100，差為40，較小數為x，則較大數為x+40.這樣就有x+x+ 40=100，從而得x=30，30+40=70，因此兩數分別為70、30.

符號代數的解法：以韋達的解法為代表.設和為a，差為b，又設較小數為x，則較大數為x+b，于是x+x+b=a，故得因此兩數分別為

（五）總結

1.用字母表示數的特點

字母表示數更能反映事物的一般性；字母的取值應使式子有意義且符合實際情況.

2.字母表示數時應注意的問題

同一問題中，不同的量要用不同的字母表示；不同的問題中，不同的量可以使用相同的字母表示，但字母的含義不同.

（六）作業

P79：1，2，P80：3.

1.涂榮豹，寧連華.中學數學經典教學方法［M］.福州：福建教育出版社，2011.

2.鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數學文化學［M］.成都：四川教育出版社，2001.

3.李文林.數學史教程［M］.北京：高等教育出版社，施普林格出版社，2000.

4.李迪，主編.中外數學史教程［M］.福州：福建教育出版社，1993.