Taylor展開式在高等數學中的應用

韓寶燕

（山東工藝美術學院公共課教學部，山東 濟南250000）

1 利用泰勒公式求行列式的值

若一個行列式可看做x的函數（一般是x的n次多項式）,記作f（x）,按泰勒公式在某處x0展開,用這一方法可求得一些行列式的值.

例1 求n階行列式

解 記fn（x）=D,按泰勒公式在z處展開：

易知

由（3）得,fk（z）=z（z-y）k-1,k=1，2，…,n.時都成立根據行列式求導的規則,有

因為（f1（x）=x），于是fn（x）在x=z處的各階導數為

把以上各導數代入（2）式中,有

2 利用泰勒公式證明導數不等式

分析：f（x）在[0，1]上二次可微，且最小值-1≠0，所以在（0，1）內一定有極值點，該點的導數為0，題中可知f（x）二次可微，從這點我們可以想到使用泰勒公式，而要證明的結論中右邊是一個常數，故選在最小值點x0處泰勒展開。

解：不妨設x0∈（0，1）為f（x）在[0,1]上的最小值點，則f（x0）=-1，f′（x0）=0，f（x）在x0處的泰勒公式：

，ξ是介于x與x0之間的某個值.

綜上所述，存在一點ξ∈（0，1），使f″（ξ）≥8.

3 利用泰勒公式判斷級數的斂散性

當級數的通項表達式是由不同類型函數式構成的繁難形式時,往往利用泰勒公式將級數通項簡化成統一形式,以便利用判斂準則.

分析：直接根據通項去判斷該級數是正向級數還是非正向級數比較困難,因而也就無法恰當選擇判斂方法,注意到,若將其泰勒展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應,會使判斂容易進行.

故該級數是正向級數.

又因為,

所以

4 利用泰勒公式求高階導數在某些點的數值

如果f（x）泰勒公式已知,其通項中的加項（x-x0）n的系數正是（x0），從而可反過來求高階導數數值,而不必再依次求導.

例4 求函數f（x）=x2ex在x=1處的高階導數f（100）（1）（2）.

解 設x=u=1,則

而g（u）中的泰勒展開式中含u100的項應為,從g（u）的展開式知u100的項為u100,因此

［1］華東師范大學數學系,編.數學分析：上冊[M].3版.北京：高等教育出版社,2001(2008重印).

［2］華東師范大學數學系,編.數學分析：下冊[M].3版.北京：高等教育出版社,2001(2008重印).

［3］閆曉紅,王貴鵬,主編.數學分析全程導學及習題全解：上冊[M].北京：中國時代經濟出版社,2006,2.

［4］閆曉紅,王貴鵬,主編.數學分析全程導學及習題全解：下冊[M].北京：中國時代經濟出版社,2006,2.

［5］同濟大學數學系,編.高等數學：上冊[M].6版.北京：高等教育出版社,2007,6(2009重印).

［6］同濟大學數學系,編.高等數學：下冊[M].6版.北京：高等教育出版社,2007.6(2009重印).