基于隸屬度函數模糊彈塑性本構模型的研究

王喜剛，扶名福

(1.南昌大學工程力學研究所，南昌330031;2.遼寧科技學院資源與土木工程學院，遼寧本溪117004)

基于隸屬度函數模糊彈塑性本構模型的研究

王喜剛1，2，扶名福1

(1.南昌大學工程力學研究所，南昌330031;2.遼寧科技學院資源與土木工程學院，遼寧本溪117004)

為了解決循環加卸載問題，將隸屬度函數和模糊截集引入到塑性屈服函數中，并采用米塞斯屈服準則，將屈服函數模糊化，推導得到了模糊彈塑性本構模型。隨著隸屬度值的變化，該模型的彈塑性界面能連續過渡，且表達式簡單，加卸載路徑明了;利用該模型對鋼橋面板在循環荷載作用下進行了分析，并通過有限單元法得到了數值解。通過分析發現，模糊彈塑性模型通過隸屬度的演化能代替硬化規律，能很好地反映循環加卸載過程，是解決循環加卸載作用下彈塑性連續過渡的一種有效途徑。

隸屬度函數;米塞斯;彈塑性;鋼橋面板;有限單元法

在經典塑性理論中，循環加卸載問題一直是一個比較棘手的問題，即便是比較簡單的塑性模型，并且在小變形情況下，問題的解答也是很麻煩的。主要原因在于完成一次循環過程需要多個數學表達式，循環加卸載路徑不明確，并且要進行復雜的計算。在經典塑性理論中，彈性狀態到塑性狀態的過渡是不連續的，是非常突然的，在采用有限元法等計算機程序算法時出現間斷。而實際的受力物體在荷載的作用下彈塑性狀態應該是連續過渡的，彈性狀態到塑性狀態的過渡是沒有間斷的，所以整個受力物體沒有絕對的彈性或塑性，而只能表現出不同程度的彈塑性。經典塑性理論是無法解釋這些現象的。

國內外學者解決該問題的方法大體可以分為兩大類，①采用沒有屈服面的本構理論，Bodner等［1］基于位錯力學提出了一個彈黏塑性統一模型，這一模型假設不存在屈服條件，不指定加載和卸載條件，可以在加載和卸載的任何時刻使用相同的公式，可以反應加卸載過程。Valanis［2］提出了沒有屈服面的內時理論，認為塑性和黏塑性材料內任一點的現實應力狀態，是該點鄰域內整個變形和溫度歷史的泛函，內時理論由內變量表征材料內部結構的不可逆變化。其在較復雜的非均勻應力應變場的計算和實際應用方面有很大的發展前景。②采用有屈服面的彈塑性本構理論，Zadeh詳細地介紹了模糊數學的概念，并且在相關領域取得了很好的效果;Yao在結構可靠性分析中引用了模糊數學理論;Klisinski［3］提出的把模糊數學應用到塑性力學理論;扶名福等［4－6］建立并論證了模糊彈黏塑性本構模型及其解的唯一性和存在性，對靜力學中彈塑性的連續過渡問題進行了研究。

模糊彈塑性理論能很好地描述循環加卸載和彈塑性的連續過渡問題，應用模糊集和模糊截集研究塑性力學問題可以給出比其他模型更加有效的數學和力學解釋。在前人研究基礎上，以經典彈塑性理論為基礎，把模糊集和模糊截集引入到考慮應變率效應的本構模型中，推導得到了更加一般形式的考慮應變率效應的彈黏塑性本構模型，該模型能很好地解釋受力物體彈塑性的連續過渡，并能保證物質導數的連續性，使得該模型在計算中不出現間斷。模糊彈塑性理論循環加載數學表達式簡單，加卸載路徑明了，計算簡單。尤其是在循環荷載作用下模型更加靈活和有效，能有效解決循環荷載往復加卸載過程中的彈塑性響應問題。

1 模糊屈服函數

屈服條件(f=0)是材料從彈性進入塑性的判斷準則，設傳統屈服面內的區域為一個模糊集C，這個模糊集代表了屈服面內的彈性區域，設彈性區域構成論域∑。

設C是屈服面內彈性區域∑的一個模糊子集，則對于任意的應力張量σ∈∑，總有一個隸屬函數μC(σ)∈［0，1］，我們稱μC(σ)為σ對C的隸屬程度，其映射關系為:

稱μC為模糊集C的隸屬度函數，它表示了材料應力狀態彈性行為的隸屬程度，μC在整個應力范圍內為一連續函數，在模糊域上任意σ總有一與其相關的隸屬函數μC(σ)∈［0，1］當σ落在屈服面以內(f＜0)時，μC(σ)∈［0，1］，μC(σ)的大小表明了該應力狀態隸屬于彈性區域的程度;當σ落在屈服面以上或者屈服面以外(f=0)時，此時μC(σ)∈［0，1］，說明該應力點隸屬于彈性區域的程度為零，即此時應力狀態進入了塑性區域。

設傳統屈服函數的屈服極限為K，則模糊屈服極限函數可表示為:

相應的屈服函數f*=f*(σ，K*)稱為模糊屈服函數。當μC(σ)=λ時，λ為隸屬度函數的某一個具體數值，比如可以是0.2等。相應的模糊屈服函數為:

C對應的模糊屈服面)和f=0(隸屬度μC(σ)=1對應的模糊屈服面)兩個曲面之間的一個曲面;f=0就是我們通常認為的屈服面，此時σ在屈服面上;對于任意的λ∈(0，1)，其對應的σ都落在自己對應的模糊屈服面f=0上。

為了使模糊集C更加清楚的顯現其本質，利用截集的概念，令:

式中:Cλ為隸屬度μC(σ)＞λ對應的所用應力點的集合;Cλ為模糊集C的λ截集，顯而易見，Cλ與模糊屈服函數是一一對應的。對于任意的λ1，λ2∈［0，1］，如果λ1＜λ2，則模糊屈服函數=0所形成的區域包含模糊屈服函數=0所形成的區域。。

圖1 模糊塑性屈服面Fig.1 Fuzzy plasticity yield surface

2 模糊彈黏塑性本構模型

2.1 應變率效應

最早研究考慮應變率效應本構模型的是Hohenemser和Prager利用黏塑性材料的比擬方法得出了如下關系式:

若考慮彈性分量，則率形式本構模型可表示為:

在此研究基礎上，Perzyna將上述理論進行了改進，其關系式如下:

函數Φ(f)的形式一般根據實驗來確定，常用的主要形式有:

在非彈性應變速度中，既包括塑性應變速度，又包括黏性應變速度。這種將塑性和黏性統一起來處理問題的方法，不僅便于考慮應變率效應對本構模型的影響，而且使得計算更加簡單，因此在塑性力學中得到了廣泛應用［7－9］。

2.2 本構模型

采用米塞斯屈服準則，相應的模糊屈服函數可以寫為:

式中:α為模型參數;

式(15)即為米塞斯屈服準則的模糊彈黏塑性線性形式的本構方程。

2.2 隸屬度函數

Klisinski提出的模糊集塑性理論，與傳統的彈塑性理論對比，它可以利用塑性隸屬度函數來表示傳統彈塑性理論中復雜的硬化規律，傳統模型中硬化規律需要復雜的數學解析表達式表示，尤其是在循環荷載作用情況下更加復雜。而隸屬度函數可以利用一個簡單的幾何圖形演化來表示復雜的塑性硬化規律。

在模糊塑性理論中，在經典屈服面f＜0應力空間中的每一個應力點都與一個塑性隸屬度函數值μC(σ)一一對應，隸屬度數值在［0，1］之間變化，隸屬度函數值的大小取決于某一點應力狀態上的第二偏應力不變量J*2的大小，在π平面上可用該應力點到經典屈服面的距離來表示，這一距離與塑性隸屬度值一一對應。

在一個循環荷載作用下，塑性隸屬度的演化規律可是代替硬化規律表示整個循環加卸載過程。隸屬度的演化規律可以有很多種，我們可以利用隸屬度函數方便地表示一個循環加卸載過程，而不再采用復雜的硬化規律。

圖2為一個由隸屬度和應力組成的模糊錐面，表示了循環加卸載過程與隸屬度之間的關系，應力路徑為: ABCOEDCOFB，即:首先從零荷載沿AB路徑加載，再沿模糊屈服面BC卸載到零，通過模糊屈服面中心CAO(應力為零)后再沿OE方向加載，然后中性變載沿ED，繼而沿模糊屈服面DC卸載到零，再一次通過CAO(應力為零)后沿OF再正向加載，進而中性變載沿FB達到B。這樣一個加卸載過程通過隸屬度函數的演化就完成了，不用再使用復雜的硬化規律。

經典彈塑性模型塑性應變見圖3，而模糊彈塑性理論其塑性應變見圖4。

通過圖3和圖4說明，經典塑性應變的產生是要滿足屈服條件，而模糊彈塑性理論塑性應變產生并不需要條件，塑性應變的大小受到塑性隸屬度函數μC(σ)大小的影響而已。

圖2 模糊錐面Fig.2 Fuzzy cone

圖3 經典模型塑性應變Fig.3 Plstic strain of classic model

圖4 模糊模型塑性應變Fig.4 Plstic strain of fuzzymodel

隸屬度函數μC(σ)的取法應符合式(1)以及上述模糊理論，應力空間中的任何一點應力狀態，都對應一個模糊屈服極限K*，為了滿足式(2)，模糊屈服極限K*可取為:

式中:β為材料參數;模糊屈服極限K*應滿足:

每一種塑性模型的隸屬度函數都可以按照塑性極限K和模糊塑性極限K*之間一一對應的關系來選取，

這里我們取μC(σ)為下式:

式(18)的定義是合理的，當我們選擇通常意義下的屈服面，此時μC(σ)=1，對應的模糊屈服極限K*［K，μC(σ)］=K，模糊屈服函數極為通常意義下的屈服函數，即f*=f，從這里也可以看出，模糊屈服函數f*包含通常意義下的屈服函數f，通常意義下的屈服函數f只是模糊屈服函數f*的一個特例。

當β=1時隸屬度函數為線性演化規律(見圖5)。當β為其它數值時，其演化規律為非線性，β的數值可通過具體材料的簡單試驗確定。

將式(16)代入式(15)可得到隸屬度函數表示的模糊彈黏塑性本構方程:

3 實例應用分析

模型有限元網格見圖5［11］。

為了確定隸屬度函數中參數β，選取該種材料進行單軸荷載試驗，試件尺寸見圖6。

圖5 有限元網格Fig.5 Finite elementmesh

圖6 試件尺寸Fig.6 Specimen size

采用壓縮試驗機進行單軸壓縮試驗并采集試驗數據，不同β值對應的數值結果與試驗結果對比見圖7。

圖7 β與塑性應變關系曲線Fig.7 Relationship curves betweenβand plastic strain

從圖7可知，選取本構參數β=1時與試驗結果吻合較好，所以選取本構參數為β=1。

利用模糊彈塑性本構模型對鋼橋面板進行分析，為了研究同一點隨時間變化的結果，取受載點處應力進行研究，其結果見表1。表1對應的對比結果見圖8。

表1 受載點處不同時間應力對比表Tab.1 Table of Stress at different times

分析表1和圖8可知，隨著荷載的變化，塑性隸屬度值不斷變化，且與應力狀態一一對應，模糊彈塑性理論得到的結果與經典模型結果較接近，說明我們可以利用模糊彈塑性理論中塑性隸屬度的演化來代替經典模型中的硬化規律;模糊彈塑性中利用隸屬度的變化，可以方便地表示循環加卸載過程。

圖8 不同時間應力對比Fig.8 Stress of different time

當μC(σ)=6%、26%、77%時，塑性應變云圖見圖9。

圖9 塑性應變云圖Fig.9 Cloud of plastic strain

從圖9可知，模糊彈塑性理論結果的塑性是連續變化的，通過隸屬度的連續變化可以代替經典理論中復雜的硬化規律。

為了研究同一時刻不同位置處應力的變化，取距離受載點順橋向每0.1 m處的應力進行研究，對比結果見表2和圖10。

表2 t=4時不同位置應力對比表Tab.2 Table of Stress at different position

由表2可知，同一時刻，隨著距加載點距離的增大，塑性隸屬度不斷變小，應力值不斷變小，模糊彈塑性結果與經典結果較接近;這樣，在同一時刻不同位置處的應力變化就可以通過該點對應的隸屬度來表示(見圖10)。

圖10 隸屬度與應力關系曲線Fig.10 Relationship curves betweenμC(σ)and stress

通過上述分析可知，模糊彈黏塑性本構模型能利用隸屬度簡單的演化代替復雜的硬化規律，能很好地反映循環加卸載過程，對循環荷載作用下的分析是適合的，并且經典彈黏塑性分析結果也包括在該模型中，即:經典結果只是該模型的一個特例。利用模糊彈黏塑性本構模型有效解決循環加卸載作用。

4 結論

將隸屬度函數和模糊截集引入到彈黏塑性本構模型中，并采用米塞斯屈服準則，推導得到了考慮應變率效應的模糊彈黏塑性本構模型，并對鋼橋面板受循環荷載作用下問題進行分析，利用有限單元法，得到了該問題的的數值解;

通過分析發現該模型通過隸屬度函數的演化能代替經典模型中的硬化規律，能很好地適應循環加卸載過程，非常適合循環荷載作用下的分析，說明模糊彈黏塑性本構模型在解決循環荷載分析是有一定應用價值的。

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Constitutivemodel of fuzzy elastoplasticity based on membership functions

WANG Xi－gang1，2，FU Ming－fu1
(1.Center of Engineering Mechanical Experiment，Nanchang University，Nanchang 330031，China;
2.College of Resources and Civil Engineering，Liaoning Institute of Science and Technology，Benxi117004，China)

Membership functions and fuzzy cut sets were induced into a plastic yield function to solve cyclic loading－unloading problems.Von Mises yield criterion was adopted to deduce the fuzzy plastic yield function.Taking the strain rate into consideration，the fuzzy elastic－plastic constitutivemodelwas obtained.Itwas shown that the elastic－plastic interface of thismodel can transit continuously with the changes in themembership，themodel is simple in expression and clear in route of loading and unloading.A steel panel under the action of cyclic loading was analyzed with themodel，its numerical solutionswere obtained using the finite elementmethod.It was shown that the cyclic loading and unloading process can be simulated well with the proposed model and it is an effective way to solve the consecutive elastic－plastic problem under cyclic loading.

membership function;Von Mises;elastoplasticity;steel panel;finite elementmethod

O345

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.020

國家自然科學基金(11362016)

2015－01－30修改稿收到日期:2015－05－29

王喜剛男，博士，講師，1981年生

扶名福男，博士，教授，博士生導師，1953年生