基于經典Von Mises應力的多軸等效應力修正方法研究

白春玉，齊丕騫，牟讓科，曹明紅

(中航工業飛機強度研究所，陜西西安710065)

基于經典Von Mises應力的多軸等效應力修正方法研究

白春玉，齊丕騫，牟讓科，曹明紅

(中航工業飛機強度研究所，陜西西安710065)

基于經典Von Mises應力的等效準則在靜力學中具有較好的適用性，但推廣到動力學中會出現新的問題，機械的應用該經典等效方法進行多軸振動疲勞損傷計算可能會導致錯誤的結果。總結給出了幾種經典Von Mises應力等效的修正方法，使之適用于噪聲載荷產生的多軸振動疲勞問題。算例表明，修正后的Von Mises應力響應功率譜的峰值和各應力分量響應功率譜的峰值均在同一頻段范圍，且均位于結構基頻附近，這和結構自身動特性及實際受載情況是相符的，使得修正后的等效應力具有實際的物理意義，且修正后的等效應力滿足高斯分布，可在頻域范圍內應用現有模型解決多軸應力狀態下的振動疲勞壽命預估問題。

多軸疲勞，Von Mises應力，壽命預估，功率譜密度函數

工程實際中，結構件的疲勞失效較多的表現為多軸疲勞失效，這是由于結構件本身常常承受多軸復雜載荷，即使結構件承受單軸載荷，但由于結構件的幾何突變或缺口導致局部區域的多軸應力應變狀態，而使結構呈現出多軸疲勞破壞，如飛機的機身及發動機的某些薄壁結構在噪聲載荷下一般表現出多軸應力應變狀態。工程實際中多軸疲勞問題普遍存在，如何減少零構件發生多軸疲勞失效具有很大的價值［1］。

對于多軸疲勞的損傷評定和壽命預估問題，常用的解決方法有能量法、臨界平面法和等效應力(應變)法。在多軸應力狀態下，針對比例加載的工況，采用等效應力準則將多軸應力響應轉變為單軸應力是一條簡單而有效的途徑。Gough等［2］通過對圓管試件進行同相位的彎曲扭轉疲勞試驗后，提出對于脆性材料應采用最大拉應力等效理論，對于韌性材料應用Von Mises等效準則，該等效應力方法描述損傷的參量不像臨界面法那樣考慮了材料的多軸疲勞損傷機理，但對于隨機加載情形下的多軸振動疲勞問題依然具有很強的適用性，因此很有必要繼續開展相關的研究工作。經典的Von Mises應力是應力張量的函數，在平面應力狀態下，其表達式如下:

為正應力分量，Sxy為剪應力分量。該等效準則在靜強度理論中具有較好的適用性，因而得到廣泛的應用，學者們希望在動強度理論中同樣應用該等效準則，以期解決多軸應力應變的疲勞損傷評估問題。然而，經典的Von Mises應力等效準則卻是一個能量的概念，其值總為正，在等效應力－時間歷程中，出現了負的載荷符號丟失的情況，將負的應力循環都折返到正的循環上，即將一個實際的拉－壓應力循環等效成拉－拉應力循環，導致等效后出現了一個虛假的正應力均值，并使應力循環的幅值和周期均減小≈1/2，然而，這種等效應力循環周期的減小意味著等效應力響應的頻率被人為的放大，從而使該響應頻率失去實際的物理意義。在拉－壓動載荷作用的多軸應力應變狀態下，機械的應用該經典Von Mises等效方法進行疲勞損傷計算可能會導致錯誤的結果。

1 經典Von Mises應力計算方法

考慮四邊簡支的薄壁板結構，施加頻率范圍0～500 Hz，聲壓功率譜為180 Pa2/Hz的白噪聲載荷。薄壁板的尺寸為510 mm×270 mm×1.3 mm，密度ρ= 8 230 kg/m3，彈性模量E為177 GPa，建立了薄壁板的有限元分析模型，其第一階模態頻率為50.3 Hz，進行薄壁板結構在噪聲載荷作用下的動響應求解［3］，求解流程見圖1，薄壁板中心應力響應結果見圖2。

圖1 噪聲載荷作用下薄壁板結構動響應求解流程Fig.1 Thin－wall structure dynamic response analysis subjected to acoustic loading

圖2 薄壁板中心各應力分量響應時域歷程Fig.2 The components of stress response of thin－wall structure center in time domain

對于多軸應力響應，如果主應力的幅值隨時間變化，而其方向不隨時間改變，此時結構承受的載荷為比例加載工況［4］。圖3為平板中點最大主應力方向，由圖3可知，僅有少數時刻的主應力所在平面偏離90°，可認為該噪聲激勵為等比例加載。

圖3 最大主應力方向Fig.3 The direction ofmaximum principal stress

應用式(1)進行經典Von Mises應力等效計算，結果見圖4，應力分量功率譜和經典Von Mises應力功率譜的比較結果見圖5，應力分量在結構的第一階模態處響應達到最大，而經典Von Mises應力等效后的最大響應譜明顯偏離結構的固有頻率位置。由此可見，經典Von Mises應力等效后其響應譜沒有體現結構自身的動態特性，由靜強度理論發展而來的該等效方法進行動態循環載荷作用下的損傷預估是值得商榷的，還需說明的是，由于Von Mises應力是經非線性運算得到的一個恒正結果，不再是高斯過程，因此無法應用現有針對高斯過程的損傷預估方法(如Drilik法、Bendat法)。

2 修正的Von Mises應力計算方法

圖4 經典Von Mises應力時域歷程Fig.4 classical Von Mises stress in time domain

圖5 經典Von Mises應力和應力分量的功率譜Fig.5 The PSD of classical Von Mises stress and stress component

在時域范圍內，應用經典的Von Mises應力等效計算方法得到的等效應力－時間歷程出現了負的載荷符號丟失的情況，將實際的拉－壓應力循環等效成拉－拉應力循環，這與結構的實際受載情況是不符的。由此，學者們嘗試對經典的Von Mises應力進行修正計算，以期得到具有實際物理意義的等效應力。

2.1 符號修正法

F.Cosmi提出等效應力的符號與絕對值最大主應力的符號相一致，由此巧妙的實現了對經典Von Mises等效應力的修正，見式(2)。但該修正方法在小應力幅值范圍內會出現跳躍現象［5－6］，圖6為應用該修正方法計算的Von Mises應力。

式中:σvm(t)為經典的Von Mises等效應力，σi(t)為主應力，i=1、2、3，sign(x)為符號函數。

圖6 F.Cosmi符號修正法計算的修正Von Mises應力Fig.6 Amendment Von Mises stress based on F.Cosmi symbolic method

本文提出一種新的符號修正方法，取修正符號為下式:

則經符號修正的Von Mises應力為式(5)，該方法優點在于不需計算主應力的大小及絕對值最大主應力的符號，其修正符號僅由各應力分量時域歷程進行簡單的數學運算即可得到，相較于F.Cosmi方法本文計算修正符號的流程更加簡單。計算結果表明，兩種符號修正方法得到的結果較為一致，圖7為本文符號修正法計算得到的Von Mises應力。

圖7 本文提出的符號修正法計算的修正Von Mises應力Fig.7 Amendment Von Mises stress based on this papermethod

2.2 經驗式修正法

為盡可能保證等效應力的實際物理意義，Pioli基于變幅等周期加載情形提出了一種基于經驗式的Von Mises修正算法［7］，其實施途徑是對某一應力分量加上一個足夠大的數值，應用經典Von Mises應力等效計算公式得到一個虛擬的應力，這樣的目的是使其他未加大數的應力分量在參與等效應力計算過程中的影響可忽略，繼而將該虛擬等效應力減去之前增加的大數，并進行系數轉換即可得到修正的Von Mises應力。本文將該方法推廣至隨機加載情形，發現同樣具有較好的適用性。具體求解步驟如下:

步驟1:將各應力分量的時域歷程中峰值和谷值差值的最大值查找出來，作為一個間隔(gap);

圖8為放大系數k分別取10和100時應用經驗式法計算得到的Von Mises應力，圖9為選取不同放大系數k計算得到等效應力均方值偏差，可見，放大倍數越大，其等效后的應力均方值偏差越小。

圖8 經驗式法計算的修正Von Mises應力Fig.8 Amendment Von Mises stress based on the empiricalmethod

圖9 k值對應力均方值影響Fig.9 Influence of k on stressmean squaremean square

圖10 頻譜域的等效應力求解流程Fig.10 The solution process of Von Mises stress based on frequency domain

圖11 頻譜域計算的Von Mises應力Fig.11 The Von Mises stress based on frequency domain

3 基于Von Mises應力的頻譜域計算方法

在進行動力學分析或處理振動疲勞試驗數據的過程中，在時間域或頻率域里均可實現有效的數據分析，兩個度量域可通過傅里葉變換和逆傅里葉變換的形式相互轉換，一個時間歷程p(t)可以完全通過頻譜p(f)表達［8］。對于確定的應力分量歷程，無論在時域或頻譜域范圍，均保留有應力的幅度(大小)信息以及相位信息。時域范圍內進行等效應力計算得到的幅值和相位是各時刻的瞬時值，經典Von Mises應力等效運算為非線性運算過程，在部分時刻使得實際的拉－壓循環等效為拉－拉循環，在這些時刻計算的相位信息和實際是不相符的。且在多軸振動響應分析中，最先得到的是各應力分量的頻域響應(見圖1)，因此可直接由頻域應力分量計算Von Mises應力。

在頻譜范圍內應用經典計算方法方法進行Von Mises應力等效的求解過程中，由于頻譜是以復向量的形式表達各頻段范圍內的應力分布。因此，在進行應力等效的計算時不會出現時域內部分相位信息和實際不相符的問題。在頻域內的Von Mises應力等效求解流程見圖10，計算得到的Von Mises應力見圖11。

圖12給出了頻譜域計算法、符號修正法、經驗式修正法及經典計算方法分別得到的Von Mises應力功率分布，其中縱坐標為對數坐標。由圖12可知，前三種計算方法較經典的計算方法相比，等效應力功率譜和各應力分量功率譜的最大響應在同一頻段范圍，且在結構基頻(50.3 Hz)附近響應幅度幾乎一致，而經典Von Mises應力響應功率譜明顯偏離結構的基頻位置。另外，該薄壁板結構在寬頻噪聲載荷作用下激起的部分高頻響應(如第三階模態頻率138.5 Hz)同樣不可忽略，由于經驗式修正法需人為設定放大系數的數值，高頻響應的求解結果會出現一定的誤差，求解結果還驗證了符號修正方法在低應力幅值出現跳躍的情況，綜合而言，頻譜域計算方法為一種最優的等效Von Mises應力修正計算方法。

圖12 各計算方法得到的等效應力功率譜分布Fig.12 The distribution of Von Mises stress PSD based on such methods

在多軸應力應變狀態下，進行等效應力求解的另一個重要目的是將多軸狀態轉化為單軸，應用已有針對單軸應力的壽命預估模型進行多軸振動疲勞壽命計算。然而，工程實際廣泛應用的針對單軸振動疲勞壽命預估的Bendat法和Dirlik法均是基于平穩高斯過程為假設前提的［9］，即忽略應力循環均值的影響，由應力分量進行非線性運算得到的經典Von Mises應力為雙參數Weibull分布［10］，其等效均值應力為恒正值，無法應用現有模型進行壽命預估。對修正后的等效Von Mises應力進行概率統計發現近似服從高斯分布，見圖13，為說明問題圖中僅給出頻譜域修正法計算的等效應力分布，因此，對修正后的等效應力可在頻域范圍內應用現有模型進行壽命預估。

圖13 應力分量和修正后等效應力分布圖Fig.13 The distribution diagrams of stress component and amendment Von Mises stress

4 結論

本文總結給出了幾種對經典Von Mises應力等效的修正方法，使得修正后的等效應力能更好的反映施加載荷和結構自身動特性的實際意義，可指導噪聲載荷作用下結構的多軸振動疲勞壽命預估和聲疲勞試驗研究。為得到更能反映外部循環載荷和結構自身動特性特征的等效應力，有兩類解決辦法:

(1)對經典的Von Mises應力進行符號修正，本文總結給出了兩種基于符號修正的等效應力求解方法及一種基于經驗式的等效應力求解方法;

(2)完全在頻譜域范圍內計算等效應力。

通過薄壁板的寬頻噪聲激勵算例表明，幾種等效應力的修正方法在結構基頻處的響應具有較好的一致性，考慮到在部分高頻分量處的響應求解誤差，頻譜域計算方法為一種最優的等效Von Mises應力修正方法。

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M ultiaxial equivalent stress amendment algorithm based on classical von m ises stress

BAIChun－yu，QIPi－qian，MU Rang－ke，CAOMing－hong
(AVIC Aircraft Strength Research Institute，Xian 710065，China)

The classical Von Mises stress equivalent crtion was builtwith the concept of static equivalent stress and extended to deal with dynamic stress.But some problems appear，even a wrong result occurs if using this equivalent criterion frigidly.Here，some amendmentalgorithmswere proposed based on classical Von Mises stress.Itwas shown that aftermodification the Von Mises equivalent stress response power spectral density has the same distribution as that of each stress component，their peak magnitudes are located near the structure's fundamental frequency，this agreeswellwith the structural dynamic features under the actual load，and themodified equivalent stress satisfies Gaussian distribution，so the fatigue life of a structure undermulti－axial stress state can be estimated based on existingmodels in frequency domain.

vibration fatigue;Von Mises stress;life prediction;power spectral density

O346.2

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.029

航空基金項目(20121523007)

2014－07－16修改稿收到日期:2014－11－19

白春玉男，碩士，工程師，1984年生

齊丕騫男，研究員，1945年生