經歷探究過程 深化數學思考

劉智勇

[摘 要]在各類數學問題解決中，思考題是直接以“思考”來冠名的。要充分體現思考題的思考價值，不能只關注解題的方式和結果，更要關注研究過程，激發學生的探究需要，讓學生經歷探究過程，主動進行反思，以思考題的教學推動數學思考能力的培養。

[關鍵詞]思考題 過程 結果 反思

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）14-009

下圖是學生剛剛學習三個兩位數連加后的一道思考題（蘇教版義務教育數學新教材二年級上冊第5頁）。這道題里數量多，信息量大，思維要求高，初次看到它時，我也琢磨了一會兒才形成思路，對剛剛進入二年級的學生而言，顯然是有難度的。

該怎么教學呢？我請教了本年級的幾位老師。有的老師說，班上總有“好”的學生能解決，請這些學生做“小老師”；有的老師說，還是等教好了后面的幾道例題，讓學生對兩位數的加減法有了比較好的基礎后再來研究這道題。我想，數學課堂應該面向全體學生，不能只是“好學生”的主場；教材在此處編排這道思考題應該是為后續教學作鋪墊，如果等后面的相關知識學好了再回頭教學，思考題的價值就大大削弱了。于是，我決定還是“還舞臺”給學生，進行一次教學嘗試。

（學生讀題，同桌合作研究）

生1：我們兩個人做了一下加法，左邊車上30+28+26=84個，右邊車上26+24+22=72個，兩車上的蘋果數不一樣多。

師：通過計算，你們發現左邊車上的蘋果——（多），右邊車上的蘋果數——（少）。

生1：我們還算出左邊車比右邊車多12個蘋果。84-72=12（個）。

師：看到數據想到計算，真會學習！既然兩車上的蘋果不一樣多，怎么能讓“兩車運的蘋果個數同樣多”呢？

生2：從左邊車上拿6個給右邊車上。

師：題目中的意思是——

生3：交換筐。

師：怎么交換？

生3：我們把兩車上的蘋果數量整理了一下，左邊車上最多的一筐是30個，右邊車上最多一筐只有26個；左邊車上最少的一筐是26個，右邊車上最少的一筐是22個；左邊車上還有一筐是28個，右邊車上還有一筐是24個。把30和26換一下。

師：你們把數據整理后，題目的意思變得清楚多了。把30和26換了以后，兩車運的蘋果個數同樣多了嗎？

生3：好像不對，28和24換，26和22換也都不行。

生4：兩車中都有一筐是26個，只要考慮其他的四框怎么換。

師（表現出很驚喜的樣子，擦掉兩個26，簡化表格如右）：交換哪兩筐蘋果就可以使兩車的蘋果個數同樣多？再研究一下。

生5：把30個和24個的筐換一下。左邊車為24+28=52（個），右邊車為30+22=52（個）。

生6：把28個和22個的筐換一下也行，左邊車為30+22=52（個），右邊車為24+28=52（個）。

師：如果把30個和22個的筐換一下，行不行呢？

生7：不行，這樣換左邊有22+28=50（個），右邊有30+24=54（個），不一樣多。

師：經過大家的共同努力，這道思考題終于被解決了。比較兩種成功的換法，你們有什么發現？

生8：這兩種換法都沒有換26個。

師：為什么不讓26參加換呢？

生8：兩車上都有26個。

師：是啊，兩邊都有26個，交換的時候我們就可以不考慮?？磥斫鉀Q問題時，可以先排除一些無關信息，讓問題解決變得簡單一點。

生9：30比24多6，28也比22多6。這也是兩種換法中的相同點。

師：還記得原來左邊車上比右邊車上多幾個蘋果？

生：12個。

師：你有什么發現？

生10：6是12的一半。

師：是啊，所謂換框，實際上就是換總數“12的一半”。剛才有一位同學好像說到了“6”。（伸手邀請生10起立）能說說你的想法嗎？

生10：從左邊車上拿6個給右邊車，兩車運的蘋果就同樣多了。

師：要是這道題中，沒有提出“換框”的要求，最直接的方法就是——

生：從左邊車上拿6個給右邊車。

（老師帶頭鼓掌，教室里響起了掌聲?。?/p>

教材中的思考題是大家公認的超越了一般學習難度的題目，它的難度往往體現在解題的思考過程比較復雜，思路比較特殊，解法具有獨特性和開放性。思考題的教學，如果處理得好，能點燃學生的學習熱情，讓學生感受到數學的奇妙和精彩；如果處理得不好，會讓學生產生畏難情緒，進而會害怕數學，結果與初衷相背離。上述思考題的教學案例，給了我很好的啟示。

1.數學思考的基礎是讓所有學生的腦子都“轉動”起來。低年級的數學學習因為難度不大，解決問題的步驟一般不超過兩步，學生普遍“看一眼”就知道怎么辦，甚至于答案脫口而出。事實上，面對稍有難度的問題，解決時不可能一步到位，首要的不是直接解題，而是梳理解決問題所具有的素材和信息，尋找數量之間的關聯。這就需要讓所有學生的腦子都要“轉動”起來，能邁出一步邁一步，能邁出兩步就邁兩步，一步一步地前進，最后逼近問題解決的關鍵和核心。其中，最重要的就是鼓勵學生積極參與，勇于展示自己的思考成果。在學生都充分展現自己的研究成果后，教學就有了很好的基礎，交流和深入就有很好的依托。比如，解決上述思考題，有學生首先想到“計算”，這很正常，一是最近集中學習計算，二是有了數量就想到計算。只是純粹的計算本身并不能解決這個問題，這就需要進一步地分析數據的特點，以及考慮計算后所得到的初步結論（左邊車上比右邊車上多12個）有什么可利用的價值。如果沒有學生腦子的“轉動”，那數學思考就成為無源之水、無本之木。

2.過程孕育結果，結果就在過程中。長期以來，人們總是對數學問題解決的結果保持著“極高的熱情”，以結果判得分，以結果論對錯，這也導致了關于“重結果輕過程”“重過程輕結果”“既要重過程又要重結果”的各種討論。我認為，這些討論都是將“過程”和“結果”分離開來看，對立起來看。事實上，過程孕育結果，結果就在過程中，過程就是我們需要的結果。這里的結果不只是問題解決的方法、過程和答案，還包含在問題解決過程中學生的主動性、互動性、生成性、發展性等。這在上述思考題的教學案例中是體現得非常充分的。從試圖通過數量的直接計算來解決問題，到發現“兩車上都有一筐是26個”后把問題解決的思路變得簡單一點，再到借助于數感和口算能直接看出答案，層層剝筍，環環相扣，拾級而上，最終進入“豁然開朗”的境地。數學是冰冷的、抽象的，可思考是火熱的，可以觸摸的，經歷了這樣的過程，學生獲得的不只是數學思考的方法，更有對數學的感受——享受到深刻的、有趣的數學學習的成功愉悅。

3.在反思中超越。反思也是一種思考，是一種對學習行為的對錯、優劣、好差等更為深入的思考。通過反思，可以更好地提升思考能力，提高學習效果。在解決問題過程中，學生的個體思維存在很大的差異性，但是經過梳理、對比、討論、交流后，彼此間的差異性就顯現出來了，此時，每個學生都可以進行反思活動，不僅反思自己，還應該在散亂中尋找有序，從多樣化中尋找最優化。只有經過反思，學生才會逐步建立反思意識，產生反思自覺。這種反思也應該包括教師的教學反思。例如“兩車蘋果相差數12”“相差數的一半是6”“拿出相差數的一半給較小數，兩數量就相等”等數量關系學生在一開始的研究中似乎就有所感覺到，這出乎了老師的預料。要是順著生10的發言，花點時間，讓他解釋自己的想法“從左邊車上拿6個給右邊車”，可能整個課堂就首尾“翻轉”過來了，同時對于解決涉及“相差數”的問題，他們也會有更進一步的認識。那樣，整節課的教學又是另一番景象了。

總之，教材中的思考題，我們要充分發揮它應有的價值——引導學生充分思考，經歷探究過程，掌握探究方法，發展學生思維，最終達到深化數學思考的目的。

（責編 金 鈴）