GM（1，1）模型在中國人口序列預測中的應用

顧翠伶 王寧 梁艷艷

摘 要：本文對1990-2014年我國人口時間序列進行分析，建立GM（1，1）模型，對未來人口數進行分析，為相關政策的制定提供依據。

關鍵詞：GM（1，1）模型;預測;殘差檢驗;后驗差檢驗;關聯度檢驗

人口預測在政治、經濟、環境、教育、醫療衛生、農業生產等方面都有非常重要的應用。人口時間序列預測是根據一個歷史的序列觀測值，找出符合人口變化規律的函數，根據這個函數將歷史觀測值作為輸入值，預測出未來的人口值。本文對1990-2014年我國人口時間序列進行分析，建立GM（1，1）模型，對未來人口數進行分析，為相關政策的制定提供依據。

1 GM（1，1）模型原理

灰色預測法是一種對不確定性因素的系統進行預測的方法[1]，就是對在一定范圍內變化的、與時間有關的灰色過程進行預測。灰色時間序列預測是灰色預測的一種，灰色系統常用的數據處理有兩種方式，累加和累減兩種。

累加是將原始序列通過累加得到生成列。記原始時間序列為：

則一次累加生成列為：

同理可做m次累加，有：

累減是累加的逆運算，累減可將累加生成列還原為非生成列，在建模中獲得增量信息。一次累減的公式為：

設時間序列X（0）有n個觀察值，X（0）={X（0）（1），X（0）（2），…，X（0）（n）}通過累加生成新序列X（1）={X（1）（1），X（1）（2），…，X（1）（n）}，則GM（1，1）模型相應的微分方程為：

求解微分方程即可得到預測模型為：

2 GM（1，1）模型的檢驗

灰色預測檢驗一般包括殘差檢驗、關聯度檢驗和后驗差檢驗。

2.1 殘差檢驗。按照預測模型計算，并將累減生成，然后計算原始序列與＼1-297＼96-x2.jpg>的絕對誤差序列及相對誤差序列。

2.2 關聯度檢驗。根據關聯度的計算方法，計算出＼1-297＼96-x2.jpg>與原始序列＼1-297＼96-x2.jpg>的關聯系數，然后計算出關聯度，根據經驗，當ρ=0.5時，關聯度大于0.6便滿意了。

2.3 后驗差檢驗

計算原始序列的標準差：

計算絕對誤差序列的標準差：

計算方差比：

計算小誤差概率：

表1 ?GM（1，1）模型精度檢驗等級參照表

[＼&指標名稱＼&精度等級＼&相對誤差＼&關聯度＼&方差比＼&小誤差概率＼&1優

2良好

3合格

4不合格＼&0.05

0.10

0.20

0.30＼&>0.80

>0.70

>0.60

>0.50＼&≤0.35

≤0.50

≤0.65

≥0.65＼&≥0.95

≥0.80

≥0.70

<0.0＼&]

3 GM（1，1）模型在我國人口序列預測中的應用

這里利用1990-2014年河南省GDP時間序列作為已知序列，建立GM（1，1）模型對未來值進行預測。對原始序列進行累加，得到一次累加生成序列X（1）。通過累加生成序列X（1）建立GM（1，1）模型，利用MATLAB軟件進行最小二乘求解，可以得到：

因而灰色預測微分方程為：

化簡即可得到預測模型為：

計算擬合值及模型預測值。

下面對該模型的預測精度進行檢驗。實踐中可以計算得到絕對誤差序列為：

Δ（0）={0，0.3344，0.2735，0.2144，0.1619，0.1102，0.0621，0.0246，

0.0014，0.0201，0.0356，0.0358，0.0348，0.0333，0.0167，0.0189，0.0067，0.0624，0.0183，0.2553，0.1424，0.0748，0.0913，0.1041}

相對誤差序列為：

A={0，0.0285，0.0231，0.0179，0.0133，0.0090，0.0050，0.0020，0.0010，

0.0016，0.0028，0.0028，0.0027，0.0026，0.0013，0.0106，0.0055，0.0067，0.0076}

相對誤差都小于0.05，預測精度很高。

計算關聯度：

min{Δi0}={0，0.3344，0.2735，0.2144，0.1619，0.1102，0.0621，0.0246，

0.0014，0.0201，0.0356，0.0358，0.0348，0.0333，0.0167，0.0189，0.0067，

0.0624，0.0183，0.2553，0.1424，0.0748，0.0913，0.1041}=0

max{Δi0}={0，0.3344，0.2735，0.2144，0.1619，0.1102，0.0621，0.0246，

0.0014，0.0201，0.0356，0.0358，0.0348，0.0333，0.0167，0.0189，0.0067，

0.0624，0.0183，0.2553，0.1424，0.0748，0.0913，0.1041}=0.3344

關聯系數為：

由關聯系數計算相關系數為：

計算原始序列的標準差：

所有的ei都小于S0，故P=1，C<0.35，

模型有較好的預測精度。

模型經過檢驗后可以用于預測，預測公式為：

對未來6年的數值進行預測，結果見表2所示。由預測結果知未來幾年我國人口將保持持續增長。

表2 ?利用GM（1，1）模型對序列未來值進行預測

[年份＼&2015＼&2016＼&2017＼&2018＼&2019＼&2020＼&預測值＼&13.8667＼&13.9515＼&14.0369＼&14.1227＼&14.2092＼&14.2961＼&]

參考文獻：

[1]徐國祥.統計預測和決策[M].上海：上海財經大學出版社，2014.