螺旋式掌握分數應用題策略的探討

周晶

【摘 要】 應用題一直是重點考察和體現區分度的題型之一。但由于新課改的要求，淡化應用題分類以及解題應試訓練的減少，使學生經常陷入模棱兩可的境地。特別是分數應用題，由于分數的獨特性質，更是讓學生猶如霧里看花，所以幫助學生掃除這其中的障礙顯得尤為重要。

【關鍵詞】 分數；應用題；單位“1”

分數應用題的解題其實也是有章可循，根據分數的特征，分數應用題可以分為三類。第一類是求一個數是另一個數的幾分之幾；第二類是求一個數的幾分之幾是多少；第三類是已知一個數的幾分之幾，求這個數。任何一個分數應用題均是由此三類問題演化而生，所以分數應用題的理解掌握應該由淺入深，循序漸進，可以遵循螺旋式三階段進行學習。

一、第一階段熟練掌握三種基本類型

1.求一個數是另一個數的幾分之幾。這其中實際包含兩種常見分率，即部分與部分與部分與整體。

例如：男生20人，女生25人。下列幾種問題：

（1）男生是女生的幾分之幾？

（2）女生是男生的幾分之幾？

（3）男生比女生少幾分之幾？

（4）女生比男生多幾分之幾？

（5）男生占全班人數的幾分之幾？

（6）女生占全班人數的幾分之幾？

這六個分率任何一個又可以得出其他5個，加強轉化訓練，特別要熟練轉化“甲比乙多（少）幾分之幾”變成“甲是乙的1+（或-）幾分之幾”可類似反復的練習，這對于后面分數應用題的解答起到鋪墊作用。

2.求一個數的幾分之幾是多少。單位“1”×分率=對應量，在這個階段算理的理解也就是份數思想要時時貫穿把握。同時應突出應用題中單位“1”，對應分率和對應量之間的數量關系這個重點，抓住“找出與量相對應的分率”這個關鍵。

例如：“一堆貨物200噸，第一次運去總數的1/5，第二次運去總數的1/4。

下列幾種問題：

（1）第一次和第二次各運多少噸？

（2）還剩多少噸沒有運走？

（3）第一次比第二次少運多少噸？

（4）兩次一共運多少噸？

根據各問題的特點，歸納得出：已知標準量與對應的分率，用乘法計算，“與量對應的分率”是解答這類問題的關鍵，沒有直接告訴的題目，應先求出“與量對應的分率”。

3.已知一個數的幾分之幾，求這個數。單位“1”=對應量÷對應分率。分數除法實際上也是求1倍數的問題，在這里便于理解，可以把它放在倍數問題中一起思考。

例如：（1）松樹有60棵，松樹是楊樹的2倍，楊樹有多少棵？

（2）松樹有60棵，松樹是楊樹的4/5，楊樹有多少棵？

通過這樣的對比，結合線段圖，很容易理解60÷4/5是怎樣除的，為什么這樣除，實際上松樹也是平均分，突出了松樹4份與楊樹5份的關系。在理解除法意義的基礎上，再次強調同種量率的對應關系。

例如：（1）松樹有60棵，松樹是楊樹的4/5，楊樹有多少棵？

（2）松樹有60棵，松樹比楊樹少1/5，楊樹有多少棵？

繼續結合線段圖對比，感受4/5和1/5兩種分率的意義，突出4/5對應松樹的棵樹而1/5對應松樹比楊樹少的棵樹，松樹的棵樹需要除以松樹棵樹所占分率，所以第（2）小題需要60÷（1-1/5）。

例如：（1）松樹有60棵，松樹是楊樹的4/5，楊樹有多少棵？

（2）松樹比楊樹少15棵，松樹比楊樹少1/5，楊樹有多少棵？

由于分數應用題中有一個“量率對應”的明顯特點，對一個單位“1”來說，每個分率都對應著一個具體的數量，而同一個單位“1”和不同的量可以形成不同的分率。這組對比題可以突出不同的量除以其所對應的不同分率可以求出同樣的單位“1”。

二、第二階段乘除混合分數復合應用題

這一階段主要是練習判斷區分分數乘除法應用題，還是可以先通過對比題感受乘除法的不同。

例如：（1）足球30個，籃球比足球多1/5，籃球有多少個？

（2）足球30個，足球比籃球多1/5，籃球有多少個？

根據乘除法應用題特點總結出“一找，二看，三判斷”的解答步驟。找：找單位“1”；看：看單位“1”是已知還是未知；判斷：已知用乘法，未知用除法。在這一解答步驟熟練的基礎上又可以出現如下變式。

例如：足球和籃球一共30個，足球是籃球的2/3，足球和籃球各有多少個？

這題按照總結出的解題步驟可以得到一共的量÷一共的分率=單位“1”，即30÷（1+2/3）就可以得到單位“1”籃球的個數，進而可得出足球的個數。但是我們在初學分數應用題時就知道1個分率可以轉化出多個分率，這里就可以將其轉化為“足球占總個數的2/5”或者“籃球占總個數的3/5”，這樣單位“1”就成了已知的總個數，可用分數乘法直接求出。綜上，單位“1”已知未知決定分數乘除法，但通過分率轉化可以改變單位“1”。

三、第三階段較復雜的分數應用題

較復雜的分數應用題題型多，千變萬化，但我們也可以適當總結一些解題方法。例如：

1.工程問題。工程應用題都可把工作總量作單位“1”。這類問題就適合在一條線段上解決，在線段上容易找出部分量與總量的關系。

2.統一單位“1”。在題中如果出現了幾個分率，而且這些分率的單位“1”不同，量的性質相異，在解題時，必須以題中的某一個量為單位“1”，將其余量的對應分率統一，才可列式解答，這一過程又常常運用單位“1”的傳遞性。

3.關注不變量。有許多數量前后發生變化的題型，但總存在著不變量。解題時要善于抓住不變量為單位“1”。而這其中又可以分為部分量不變和總量不變兩種類型。

除此之外，還有很多思想方法在分數應用題中涉及，并不能一一說盡，所以在教學中我們更應注重讓學生能夠在分數應用題的學習中獲得自我整理總結的能力。