分子量分解問題

張曉飛

摘 要：生命蛋白質是由若干種氨基酸經過不同的方式組合而成的，本題中將分子量為x的生命蛋白質分解為18種已知分子量a[i]氨基酸的和的形式，需要求解組合成蛋白質的氨基酸的所有可能形式。針對實驗室沒有計算機的情況下要求解對任意一個分子量x具體給出由哪些a[i]（i=1，.......，n）氨基酸組成，由于計算量過大，我們通過假設實驗室的化學等設備可以計算出蛋白質的分子式來增加計算中的約束條件，從而減小了計算量，再通過線性方程組求解計算出沒有計算機的情況下的氨基酸組成個數。針對實驗室有計算機的情況下，我們通過題目所給的條件列出等式，由于考慮到直接用所列出的等式計算一旦所給的數增大時，即使使用計算機也需要一定的時間才能得到答案，我們通過查閱的資料得到每個蛋白質N含量的限制為15%～17%，從而列出了約束條件，首先利用lingo求解，發現有一個最優解，不符合我們需要的解，再利用c語言編程出相應的程序，用軟件算出解的個數及所有滿足條件的組合。例如，得出x=1000時解的數量為20650。

關鍵詞：約束變量 循環嵌套 分子式

中圖分類號：O632 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）03（c）-0217-02

1 問題重述

生命蛋白質是由若干種氨基酸經不同的方式組合而成。在實驗中，為了分析某個生命蛋白質的分子組成，通常用質譜實驗測定其分子量x（正整數），然后將分子量x分解為n個已知分子量a[i]（i=1，.......，n）氨基酸的和的形式。某實驗室所研究的問題中：

n=18，x1000

a[i]（i=1，.......，18）分別為57，71，87，97，99，101，103，113，114，115，128，129，131，137，147，156，163，186

要求針對該實驗室擁有或不擁有計算機的情況，對如何分解分子量x作出解答，即針對任意一個分子量x具體給出由哪些a[i]（i=1，.......，n）氨基酸組成。

2 問題分析

該題中要求針對該實驗室擁有或不擁有計算機的情況，對如何分解分子量x作出解答，題目中所給的已知分子量a[i]為氨基酸的和的形式，通過查閱資料得出所給的氨基酸的和的形式已經減去了一個水分子的相對質量，在求解的過程中可以忽略脫水的問題，所以可以列出公式：

單只有這個公式不論是在有計算機還是沒有計算機的情況下求解量過大，于是考慮需找約束條件來解決問題。

3 模型假設

1、每個蛋白質有N含量的限制為15%～17%[1]。

2、蛋白質組成時，不考慮氨基酸的排列順序，只考慮氨基酸的數量和種類。

3、不考慮一種氨基酸的出現會影響其他氨基酸的存在。

4、不考慮氨基酸組合成蛋白質時的脫水問題。

4 符號系統

a（i）：第i個氨基酸的分子質量

n（i）：第i個氨基酸的數目

x：蛋白質分子的總分子質量

c（ij）：第i種氨基酸中j元素的個數

d（j）：蛋白質中含j元素個數

5 模型建立

根據題目所給的條件可知這是一個求解整數系n元一次方程的問題。

列出方程和基本約束條件：

n（i）>=0且n（i）（i=1，2，3，......18）

問題一：在擁有計算機的情況下：

1.分析題目得，在所有的排列組合中，肯定有一組最優解，即max（sum）最接近x，這就是我們要求的組合，考慮到這里，我們有lingo編程實現最優解，變量一共有18個即；a1～a18，分別賦值為：57，71，87，97，99， 101，103，113，114，115，128，129，131，137，147，156，163，186。它們都是非負整數，具體程序見附錄。Lingo解得的解只是很多解中的一組，這就顯示lingo程序的不足。這里列舉了其中的幾組解見表1。

2.由于lingo軟件不是最優的，我們在這里用c語言編程應用窮舉法來解出所有符合要求的解的組合。我們用18個for循環把符合要求的解全部都列舉出來，并且計算有多少個組合。為了使我們的編程有亮點，我們簡化了c語言的程序，使運算更快捷，并且我們的程序可以附加條件，這就適合推廣應用，適合生物學家知道分子量的前提下應用我們的編程快速的篩選出合理的組合，軟件小巧，以推廣，可移植性強。

對于每個a（i）循環我們都限制循環量即循環次數m<=x/a（i），我們每次循環都檢查“sum>x？”。利用continue語句可以實現這個功能，這樣可以最大限度的避免不必要的循環。

利用c語言解出的幾組蛋白質氨基酸組合個數見圖1。

問題二：在沒有計算機的前提下：

在沒有任何其它的信息補充和約束條件的情況下，最一般的模型可表示為

x（i）>=0且x（i）（i=1，2，3，......18）

這樣的模型在有計算機的情況下當X的值達到一定的數目以后就需要很長的時間才能求解出來，所以對于沒有計算機的情況下，用這種模型進行求解的不切實際的，所以我們便考慮從已有的條件下去尋找約束條件，從本質上減小計算的數量。

實驗室中雖然沒有計算機，但是根據有關質譜實驗在有機化學中的應用可知：質譜法可以得到有關分子結構的信息以及化合物的準確分子量和分子式[2]。那么我們就假設：實驗室可以對完全分解后的氨基酸混合液做定性的分析，并通過質譜儀檢測從而得到蛋白質的分子式。

又由于氨基酸是由C，N，O.H.S五種元素組成的，我們由18種氨基酸的分子量推測出其分子式如表2所示：

根據給出的氨基酸的分子式，用j=1，2，3，4，5分別表示C，N，H，O，S五種元素，i對應第i號氨基酸（參照表2），可建立模型：

（ j=1，2，3，4，5）

x（i）>=0且x（i）（i=1，2，3，......18）

再利用線性方程組求出通解，然后找出其滿足條件的整數解。

考慮到計算量依然較大，可以對模型進一步優化：

由于S元素在蛋白質中所占得比例很小[3]，而題目給出的18種氨基酸中只有17號半胱氨酸和18號組氨酸含有硫元素，所以可以分兩種情況計算。

1.蛋白質中含有S時，直接利用上述模型。

2.蛋白質中不含S時，取i=1，2，3......16， j=1，2，3，4.此時考慮的氨基酸種類減少，運算量減少。

6 模型分析

Lingo編程方便，解也是最優解，但是只能解出一個解，不符合實際應用要求，所以這個模型需要改善。C語言編程應用窮舉法，能比較全面地把所有組合求出來，供需要人員選用，C語言編程可移植性高，應用廣，運算速度快，限制條件添加方便。第二個模型在有計算機的前提下可以推廣應用。

7 模型推廣

C語言提供了一個排列組合解決n元一次方程的模板，適合大部分窮舉法解決組合問題的解法，由于我們的c語言模板編程應用了很多簡化運算的語句，所以在一般計算機中就可以進行規模較大的分子質量組合解答，并且可以方便地添加約束條件來篩選輸出。

8 結語

通過我們的建立的模型求解蛋白質分子的組合，可以得到x值所對應的解對的個數以及組合的情況，并且可以同過增加if語句對結果進行篩選，符合題目要求，并且對實際應用有很大幫助。

參考文獻

[1] 百度百科，組成及特點欄目，http：//baike.baidu.com/view/15472.htm.

[2] 邢其毅，裴偉偉.基礎有機化學[M].北京：高等教育出版社，1993年.

[3] CD古奇，DG帕斯托.有機化學基礎[M].北京：高等教育出版社，1986.