“雞免同籠”問題的解法

楊國義

例1 王奶奶養了30只雞和兔，這些雞兔共有96只腳，雞和兔各有多少只？

假設都是雞，那么一共有腳30×2=60（只），比實際少96-60=36（只）。用一只兔去換一只雞，可以增加（4-2）只腳；要增加36只腳，需要用36÷（4-2）=1 8（只）兔去換雞。所以兔有18只，雞有30-18=12（只）。

假設都是兔，該怎樣算呢？請你自己試試吧。

提醒：假設都是雞，先算出的是兔的數量；假設都是兔，則先算出的是雞的數量。

如果雞兔總數較少，可以列如下表1找答案。像本題雞兔總數較多，可以從雞兔各占一半算起。如下表2，雞、兔各有1 5只，共有腳90只，比實際96只略少，所以應減少雞增加兔。你能接著填表找出答案嗎？

如果每只雞都是“金雞獨立”，一只腳站著；每只兔像人一樣用兩只腳站著，那么落地的腳還有96÷2=48（只）。這時每只雞一只腳，每只兔兩只腳。只要兔多一只，腳的總數就比頭的總數多1，此時腳的總數比頭的總數多48-30=18，所以兔有18只，雞有30-18=12（只）。瞧，一次除法和一次減法就算出了兔子數，很簡單吧！但如果“腳數”不是4和2（如：三輪車和小轎車的“車輪數”分別是3和4），就不能用這種算法了。

例2 停車場里有兩輪摩托車、三輪農用車、四輪小汽車共37輛，各種輪子共有118個，已知四輪小汽車比三輪農用車的3倍多1輛，兩輪摩托車有多少輛？

這是一個較復雜的“雞兔同籠”問題，用假設法解比較方便。

根據“四輪小汽車比三輪農用車的3倍多1輛”，假設四輪小汽車減少1輛，則四輪小汽車正好是三輪農用車的3倍。這樣，三種車共有37-1=36（輛），共有輪子118-4=114（個）。假設這些車都是兩輪摩托車，則輪子總數是2×36=72（個），比114個少42個。因為四輪小汽車的輛數是三輪農用車的3倍，所以每次要同時用1輛三輪農用車和3輛四輪小汽車（共有3+4×3=15個輪子），去換4輛兩輪摩托車（共有2×4=8個輪子）。每換一次，可以增加15-8=7（個）輪子，要使輪子總數達到114個，即增加42個，一共要換42÷7=6（次）。所以，三輪農用車有6輛，四輪小汽車有6×3+1=19（輛），兩輪摩托車有37-6-19=12（輛）。

小試身手

1 養殖場里養了豬和鵝共27只，共有86條腿。養殖場養了（ ）頭豬，（ ）只鵝。

2 停車場里共有三輪農用車、四輪小汽車和六輪大卡車44輛，各種輪子共有171個，已知四輪小汽車比六輪大卡車的2倍少1輛，四輪小汽車和三輪農用車各有多少輛？