歸類恒成立問題中求參數(shù)

闞興龍

高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題，涉及的知識面廣，綜合性強(qiáng)。覆蓋知識點(diǎn)多，方法多種多樣，是近幾年數(shù)學(xué)高考考查的熱點(diǎn)。恒成立問題能夠很好的考察函數(shù)不等式等知識以及轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想，因此備受命題者青睞?？偟膩碚f，高中數(shù)學(xué)的恒成立問題，是一個綜合性考點(diǎn)，它涉及到函數(shù)值域、單調(diào)性、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，是難點(diǎn)也是重點(diǎn)。

恒成立的問題既含參數(shù)又含變量，往往與函數(shù)、數(shù)列、方程、幾何有機(jī)結(jié)合起來，具有形式靈活、思維性強(qiáng)、不同知識交匯等特點(diǎn). 考題通常有兩種設(shè)計方式：一是證明某個不等式恒成立，二是已知某個不等式恒成立，求其中的參數(shù)的取值范圍.解決這類問題的方法關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸，通過等價轉(zhuǎn)化可以把問題順利解決，下面我就簡單的談?wù)勎覍Φ诙悊栴}的認(rèn)識以及各種類型的處理方法。

一、含有一個變量、一個參量的不等式恒成立，求參量的范圍

典例：恒成立，求c的取值范圍。

解析：恒成立

恒成立即可

評注：這類恒成立問題往往比較簡單，直接轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題利用相關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題，這個過程中能分離參數(shù)的往往先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題。即：若對于x取值范圍內(nèi)的任一個數(shù)都有恒成立，則；若對于x取值范圍內(nèi)的任一個數(shù)都有恒成立，則.

二、在解決恒成立問題時，有時在一個數(shù)學(xué)問題中含多個變量的，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系

使問題更加清晰明了，一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù)。我將問題分為兩類：

類型一：不等關(guān)系類型

1.“雙任意” 型

典例：

已知函數(shù)，若恒成立，求t的取值范圍。

解析：恒成立

恒成立

即恒成立

令

恒成立，所以。

評注：對于“若恒成立，求所含參量t的取值范圍”這類兩個變量都在某個集合內(nèi)“任意”取值的求參數(shù)范圍的題目，在求解時采取“各個擊破”的戰(zhàn)術(shù)，即先將其中一個變量也看成已知從而轉(zhuǎn)化成另一個變量的恒成立問題來求解，再進(jìn)行第二個變量的恒成立問題求解即可。

2.“任意、存在”并存型

典例：已知函數(shù)，若恒成立，求a的取值范圍。

解析：由已知可轉(zhuǎn)化為而

可求得函數(shù)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，值域為R；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值即為最大值，，所以

解得

評注：對于“若恒成立，求所含參量t的取值范圍”這類問題，在求解時往往等價于或即可，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。

3.“雙存在” 型

典例：已知函數(shù)，，若 恒成立，求a的取值范圍。

解析：由上一題的例子可求得

而總恒成立等價于，故只需，

評注：對于“若恒成立，求所含參量t的取值范圍”這類問題，在求解時往往等價于或即可，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。

類型二：等式關(guān)系類型

1.“雙任意” 型

典例：已知函數(shù)，，若恒成立，求a的取值范圍。

解析：由題意可知在上的值域B=，在上的值域A=，則恒成立等價于A=B，而顯然故。

評注：對于“若恒成立，求所含參量t的取值范圍”這類相等關(guān)系恒成立問題，在求解時往往轉(zhuǎn)化成集合關(guān)系來解決。即設(shè)函數(shù)的值域B，函數(shù)的值域A，則恒成立等價于。

2.“任意、存在”并存型

典例：已知函數(shù)，設(shè)，函數(shù)，若恒成立，求a的取值范圍。

解析：由已知可求得函數(shù)的值域B=，函數(shù)的值域A=則恒成立等價于，所以，，所以。

評注：對于“若恒成立，求所含參量t的取值范圍”這類相等關(guān)系恒成立問題，在求解時往往轉(zhuǎn)化成子集關(guān)系來解決。即設(shè)函數(shù)的值域B，函數(shù)的值域A，則恒成立等價于。

3.“雙存在” 型

典例：已知函數(shù)，設(shè)，函數(shù)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：由題意可得函數(shù)的值域A=，函數(shù)的值域B= 則恒成立等價于，所以，，所以。

評注：對于“若恒成立，求所含參量t的取值范圍”這類相等關(guān)系恒成立問題，在求解時往往轉(zhuǎn)化成集合關(guān)系來解決。即設(shè)函數(shù)的值域B，函數(shù)的值域A，則恒成立等價于。

恒成立問題在各類考試中，一直由于沒有固定的規(guī)律給學(xué)生帶來許多的麻煩。這些試題一般綜合性強(qiáng)，在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的同時，也考查學(xué)生對問題的分析能力及對綜合知識的駕馭能力。本人僅僅就自己的經(jīng)驗總結(jié)了上述幾種方法僅供參考。