立體幾何考點分析

翁華木

縱觀近三年新課標Ⅰ卷、Ⅱ卷，總體特點是遵循考試大綱各項要求，試題設計科學規范，試題類型、難度基本保持穩定，同時每年又有不同程度的創新.

空間幾何體的直觀圖與三視圖

三視圖是考查空間想象能力的有效載體，高考一般以選擇題或填空題的形式出現. 常見題型有：由幾何體判斷三視圖，利用三視圖求幾何體的表面積和體積等.

例1 如圖甲，網格紙上小正方形的邊長為[1]，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱長中，最長的棱的長度為（ ）

圖甲 圖乙

A. [62] B. [42]

C. [6] D. [4]

解析 如圖乙，設輔助正方體的棱長為[4]，三視圖對應的多面體為三棱錐[A-BCD]，最長的棱為[AD=（42）2+22=6].

答案 C

解讀 解決這類問題應根據幾何體的三視圖判斷幾何體的結構特征：①三視圖為三個三角形，對應三棱錐；②三視圖為兩個三角形、一個四邊形，對應四棱錐；③三視圖為兩個三角形、一個圓，對應圓錐；④三視圖為一個三角形、兩個四邊形，對應三棱柱；⑤三視圖為兩個四邊形、一個圓，對應圓柱.

空間幾何體中的表面積和體積

空間幾何體的表面積、體積問題，常常結合三視圖在選擇題、填空題中進行考查，其中文科也會在解答題中有一小問考查空間幾何體的表面積、體積.

例2 圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為[r]）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示. 若該幾何體的表面積為[16+][20π]，則[r=]（ ） [2r][r][2r][正視圖][俯視圖][r]

A. [1] B. [2]

C. [4] D. [8]

解析 由三視圖可知，此組合體是由半個圓柱與半個球體組合而成，其表面積為[S=][πr2+2πr2+2πr2+4r2][=20π+16]，求得[r=2].

答案 B

解讀 由三視圖求相關幾何體的表面積和體積問題，可先由給出的三視圖，依據“正視圖反映幾何體的長和高，側視圖反映幾何體的高和寬，俯視圖反映幾何體的長和寬”來確定表面積和體積公式中設計的幾何量，注意三視圖中的垂直關系在幾何體中的位置.

點、線、面的位置關系

點、線、面的位置關系的判斷、推理證明是歷年高考命題的熱點，其題型一般是以空間幾何體為載體，考查其中的線線、線面、面面的平行與垂直的證明.

例3 如圖，四邊形[ABCD]為菱形，[G]為[AC]與[BD]的交點，[BE⊥]平面[ABCD].

（1）證明：平面[AEC⊥]平面[BED]；

（2）若[∠ABC=120°]，[AE⊥EC]，三棱錐[E-ACD]的體積為[63]，求該三棱錐的側面積.

解析 （1）因為四邊形[ABCD]為菱形，

所以[AC⊥BD].

因為[BE⊥]平面[ABCD]，所以[AC⊥BE].

由此得[AC⊥]平面[BED].

又[AC?]平面[AEC]，所以平面[AEC⊥]平面[BED].

（2）設[AB=x]，在菱形[ABCD]中，由[∠ABC=120°]可得，

[AG=GC=32x]，[GB=GD=x2].

因為[AE⊥EC]，

所以在[Rt△AEC]中，[EG=32x].

由[BE⊥]平面[ABCD]知，[△EBG]為直角三角形，

所以[BE=22x].

由已知得，三棱錐[E-ACD]的體積

[VE-ACD=13×12AC×GD×BE=624x3=63]，

求得[x=2].

從而可得[AE=EC=ED=6].

所以[△EAC]的面積為[3]，[△EAD]的面積與[△ECD]的面積均為[5].

于是三棱錐[E-ACD]的側面積為[3+25].

解讀 對于空間的直線與平面的平行、垂直的判定與證明，關鍵是掌握基本幾何體的模型與性質，熟練運用相關性質定理和判定定理證題. 求解時還要注意運用定理和性質的完整性，否則解題過程就不是規范的. 如本題，先證明[AC⊥BD]，[AC⊥BE]，且[BD]，[BE]是平面[BED]內的兩條相交直線，才能推出[AC⊥]平面[BED]；由[AC?]平面[AEC]，才能推出平面[AEC⊥]平面[BED].

空間角與距離的度量

考綱要求能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題. 理科試卷每年均有一道解答題設計一問求解空間的角或距離問題，這些試題多數都可以用幾何法和向量法進行求解，為同學們提供了更為廣闊的思考空間.

例4 如圖，長方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[AB=16]，[BC=10]，[AA1=8]，點[E]，[F]分別在[A1B1]，[D1C1]上，[A1E=D1F=4]. 過點[E]，[F]的平面[α]與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.

（1）畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（2）求直線[AF]與平面[α]所成角的正弦值.

解析 （1）交線圍成的正方形[EHGF]如圖.

（2）作[EM⊥AB]，垂足為[M]，

則[AM=A1E=4]，[EM=AA1=8].

因為[EHGF]為正方形，所以[EH=EF=BC=10].

于是[MH=EH2-EM2=6]，所以[AH=10].

以[D]為坐標原點，[DA]的方向為[x]軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系[D-xyz]，

則[A（10，0，0）]，[H（10，10，0）]，[E（10，4，8）]，[F（0，4，8）]，[FE=（10，0，0）]，[HE=（0，-6，8）].

設[n=（x，y，z）]是平面[EHGF]的法向量，

則[n?FE=0，n?HE=0，]即[10x=0，-6y+8z=0.]

所以可取[n=（0，4，3）].

又[AF=（-10，4，8）]，

所以[|cos|=|n?AF||n||AF|=4515].

所以直線[AF]與平面[α]所成角的正弦值為[4515].

解讀 空間角與距離的計算，從解題的層面上看，傳統方法和向量方法都能求解. 其中，利用傳統方法要注意解題過程的完整性，即實施“一作、二證、三計算”的解題程序. 利用向量方法解題，合理地建立空間直角坐標系是求解的關鍵，注意三點：一是三條直線必須是垂直的關系；二是平面向量的法向量的選取注意方向性；三是公式的應用必須準確和熟練.

數學史問題背景

以“數學史”為背景的試題，成為近年來高考命題的亮點，也將成為今后高考數學命題的保留內容. 這類問題，對考生的數學閱讀能力提出了較高的要求，它要求同學們讀懂題目，轉化成立體幾何模型求解.

例5 《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺. 問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆積放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為[8]尺，米堆的高為[5]尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知[1]斛米的體積約為[1.62]立方尺，圓周率約為[3]，估算出堆積的米約有（ ）