函數(shù)與方程、模型常見(jiàn)題型點(diǎn)津

匡婷 余天錫

函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)與方程思想是重要的思想方法，它是統(tǒng)領(lǐng)高中代數(shù)的主線. 此外，函數(shù)還容易與數(shù)列、立體幾何、解析幾何、三角及平面向量等形成交匯.

函數(shù)與方程思想的應(yīng)用

1. 函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

函數(shù)[y=f（x）]的零點(diǎn)即方程[f（x）=0]的根，亦即[y=f（x）]的圖象與[x]軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 值得注意的是“零點(diǎn)的本質(zhì)是實(shí)數(shù)，不是數(shù)對(duì)”.

例1 已知函數(shù)[f（x）=6x-log2x]，在下列區(qū)間中，包含[f（x）]的零點(diǎn)的區(qū)間是（ ）

A. [（0，1）] B. [（1，2）] C. [（2，4）] D.[（4，+∞）]

解析 因?yàn)閇f（1）=6-log21=6>0]，

[f（2）=3-log22=2>0]，

[f（4）=32-log24=-12<0]，

所以函數(shù)[f（x）]的零點(diǎn)所在區(qū)間為[（2，4）].

答案 C

解讀 函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷主要有三個(gè)方法：（1）直接求出來(lái)；（2）利用零點(diǎn)存在性定理判斷；（3）依據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.

2. 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

例2 已知函數(shù)[f（x）=x3+ax+14]，[g（x）=-lnx].用[minm，n]表示[m，n]中的最小值，設(shè)函數(shù)[h（x）=][minf（x），g（x）（x>0）]，討論[h（x）]的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解析 （1）當(dāng)[x∈（1，+∞）]時(shí)，[g（x）=-lnx<0]，

則[h（x）≤g（x）<0]，此時(shí)無(wú)零點(diǎn).

（2）當(dāng)[x=1]時(shí)，[f（1）=a+54].

若[a≥-54]，[f（1）≥0]，而[g（1）=0]，此時(shí)[x=1]是[h（x）]的零點(diǎn).

若[a<-54]，則[f（1）<0]，[h（1）=f（1）<0]，此時(shí)無(wú)零點(diǎn).

（3）當(dāng)[x∈（0，1）]時(shí)，[g（x）=-lnx>0]，只需考慮[f（x）]在[（0，1）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù).以導(dǎo)數(shù)為工具，通過(guò)研究函數(shù)[f（x）]的圖象與性質(zhì)，利用零點(diǎn)存在性定理可以得出結(jié)論：

當(dāng)[a>-34或a<-54]時(shí)，[h（x）]有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)[a=-34或a=-54]時(shí)，[h（x）]有兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)[-54解讀 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題是2015年高考最熱的題型，可以令[f（x）=0]，試著直接判斷方程解的個(gè)數(shù). 如果行不通，則結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)使用零點(diǎn)存在性定理確定，也可以將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

3. 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要是已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根所在區(qū)間、或者根的大小等求參數(shù)的范圍.

例3 設(shè)當(dāng)[x3+ax+b=0]，其中[a，b]均為實(shí)數(shù).下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是 （寫(xiě)出所有正確條件的編號(hào)）.

（1）[a=-3，b=-3；] （2）[a=-3，b=2；]

（3）[a=-3，b>2；] （4）[a=0，b=2；]

（5）[a=1，b=2].

解析 設(shè)[f（x）=x3+ax+b]，所以[f（x）=3x2+a].

當(dāng)[a≥0]時(shí)，[f（x）≥0]，[f（x）]在[R]上單調(diào)遞增.[f（x）=0]恒有一解，故（4）和（5）正確.

當(dāng)[a<0]時(shí)，令[f（x）=0]得[x=±-a3]， [f（x）]的極大值點(diǎn)是[--a3]，極小值點(diǎn)是[-a3]，要使[f（x）=0]有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根則[f（--a3）<0]或[f（-a3）>0].

在（1）中，[f（x）極大=f（-1）=-1<0]滿足題意，故（1）正確.

在（2）中，[f（-1）=4>0]且[f（1）=1-3+2=0]不滿足題意.

在（3）中，[f（1）=1-3+b=b-2>0]，故（3）正確.

綜上（1）（3）（4）（5）正確.

答案 （1）（3）（4）（5）

解讀 “三次函數(shù)”是教材之外最簡(jiǎn)單的有理函數(shù)，其零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是近幾年高考熱點(diǎn)，此類(lèi)問(wèn)題往往與三次函數(shù)的極值（有無(wú)、符號(hào)）有關(guān)，一般是結(jié)合三次函數(shù)的圖象求解.

例4 已知函數(shù)[f（x）=2ax2+2x-3]，如果函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍.

解析 顯然[x=0]不是[y=f（x）]的零點(diǎn)，

則函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，

即[?x∈-1，0?0，1]，使得[f（x）=0].

即[?x∈-1，0?0，1]，使得[2a=3x2-2x].

因?yàn)閇x∈-1，0?0，1]時(shí)，

[2a=3x2-2x=3（1x-13）2-13≥1]，

所以[a≥12]，即實(shí)數(shù)[a]的取值范圍為[[12，+∞）].

解讀 含參函數(shù)存在零點(diǎn)求參數(shù)范圍問(wèn)題，本質(zhì)是一個(gè)“能成立”問(wèn)題（含參等式的特稱(chēng)命題），一般優(yōu)先采用“提參法”，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題求解.

函數(shù)模型及其應(yīng)用

1. 應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

例5 某食品的保鮮時(shí)間[y]（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度[x]（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系[y=ekx+b（e=2.718]…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，[k，b]為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是 小時(shí).

解析 由題意得，[192=eb，48=e22k+b]，

則[48192=e22k+beb， ∴e22k=14，][ ∴e11k=12]，

所以[x=33]時(shí)，[y=e33x+b=（e11k）3eb][=（12）3×192=24].

答案 24

解讀 應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，首先要認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；然后利用已知條件，確定模型中的待定系數(shù)；最后利用該函數(shù)模型解決問(wèn)題.

2. 構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

例6 某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度）. 設(shè)該蓄水池的底面半徑為[r]米，高為[h]米，體積為[V]立方米. 假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000[π]元（[π]為圓周率）. 試確定[r]和[h]為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.

解析 因?yàn)樾钏氐膫?cè)面積的建造成本為[200πrh]元，底面的總成本為[160πr2]元，所以蓄水池的總成本 [200πrh][+160πr2]=12000[π]，則[h=15r（300-4r2）.]

從而[V（r）]=[πr2h=π5（300r-4r3）].

由[h>0，r>0]得，[0[V（x）=π5（300-12r2）].

令[V（x）=0]得，[r1=5，r2=-5]（舍）.

當(dāng)[r∈（0，5）]時(shí)，[V（x）>0]，[V（r）]在[（0，5）]上為增函數(shù).

當(dāng)[r∈（5，53）]時(shí)，[V（x）<0]，[V（r）]在[（5，53）]上為減函數(shù).

由此可見(jiàn)，當(dāng)[r=5，h=8]時(shí)，該蓄水池的體積最大.

解讀 構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟是：（1）審題；（2）設(shè)量建模；（3）求解函數(shù)模型；（4）回答實(shí)際問(wèn)題. 其中要特別關(guān)注自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域. 從近兩年高考試題看，函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的考查，更多地以社會(huì)實(shí)際生活為背景，常與基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯.

3. 構(gòu)建函數(shù)模型，證明不等式

例7 已知函數(shù)[f（x）=ex-ax-1]（[a]為常數(shù)），曲線[y=f（x）]在與[y]軸的交點(diǎn)[A]處的切線斜率為-1.

（1）求[a]的值及函數(shù)[f（x）]的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)[x>0]時(shí)，[ex>x2+1]；

（3）證明：當(dāng)[n∈N?]時(shí)，[1+12+13+…+1n>lnn+13（3e）n].

解析 （1）由[f（x）=ex-ax-1]得，[f（x）=ex-a].

又[f（0）=1-a=-1]，所以[a=2].

所以[f（x）=ex-2x-1]，[f（x）=ex-2].

由[f（x）=ex-2>0]得，[x>ln2].

所以函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[（-∞，ln2）]上單調(diào)遞減，在[（ln2，+∞）]上單調(diào)遞增.

（2）證明：令[g（x）=ex-x2-1]，

則[g（0）=0， g（x）=ex-2x].

再令[h（x）=g（x）=ex-2x]，則[h（x）=ex-2].

則[h（x）]在[（0，ln2）]上單調(diào)遞減，在[（ln2，+∞）]上單調(diào)遞增.

故[h（x）min=h（ln2）=2-2ln2>0]，從而[g（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞增.

又[g（0）=0]，所以當(dāng)[x>0]時(shí)，[ex>x2+1].

（3）首先證明當(dāng)[x>0]時(shí)，恒有[ex>13x3].

證明如下：令[K（x）=ex-13x3]，則[K（x）=ex-x2].

由（2）知，當(dāng)[x>0]時(shí)，[ex>x2]，

所以[K（x）>0]，所以[K（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞增，

所以[K（x）>K（0）=1>0]，所以[ex>13x3].

所以[x>ln（13x3）]，即[x+ln3>3lnx].

依次取[x=21，32，…，n+1n]，代入上式，

則[21+ln3>3ln21]，

[32+ln3>3ln32]，

[…]

[n+1n+ln3>3lnn+1n].

以上各式相加得，

[21+32+…+n+1n+nln3>3ln（21×32×…×n+1n），]

所以[n+（1+12+13+…+1n）+nln3>3lnn+1]，

所以[1+12+13+…+1n>3lnn+1-nln3-n]，

即[1+12+13+…+1n>lnn+133nen].

解讀 在不等式證明時(shí)，如能從題目信息中發(fā)現(xiàn)解題契機(jī)，通過(guò)分析、聯(lián)想，巧妙構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性或極（最）值進(jìn)行證明，不失為一種簡(jiǎn)捷的方法.

[練習(xí)]

1. 已知函數(shù)[f（x）=x-2+1， g（x）=kx]，若方程[f（x）][=g（x）]有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)[k]的取值范圍是（ ）

A.[（0，12）] B.[（12，1）] C.[（1，2）] D.[（2，+∞）]

2. 設(shè)函數(shù)[fx=2x-a，? x<1，4x-ax-2a， x≥1.]

（1）若[a=1]，則[fx]的最小值；

（2）若[fx]恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍.

3. 如圖，[A，B，C]三地有直道相通，[AB=5]千米，[AC=3]千米，[BC=4]千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從[A]地出發(fā)勻速前往[B]地，經(jīng)過(guò)[t]小時(shí)，他們 之間的距離為[ft]（單位：千米）. 甲的路線是[AB]，速度為[5]千米/小時(shí)，乙的路線是[ACB]，速度為8千米/小時(shí).乙到達(dá)[B]地后原地等待. 設(shè)[t=t1]時(shí)乙到達(dá)[C]地.

（1）求[t1]與[ft1]的值；

（2）已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話距離是[3]千米.當(dāng)[t1≤t≤1]時(shí)，求[ft]的表達(dá)式，并判斷[ft]在[t1，1]上得最大值是否超過(guò)[3]？說(shuō)明理由.

4. 設(shè)函數(shù)[f（x）=x2+ax+b，（a，b∈R）].

（1）當(dāng)[b=a24+1]時(shí)，求函數(shù)[f（x）]在[[-1，1]]上的最小值[g（a）]的表達(dá)式；

（2）已知函數(shù)[f（x）]在[[-1，1]]上存在零點(diǎn)，[0≤b-2a≤1]，求[b]的取值范圍.

[參考答案]

1. B 2. （1）1 （2）[[12，1）?[2，+∞）]

3. （1）[t1=38] [f（t1）=3841]

（2）[f（t）]的最大值是[3841]，不超過(guò)[3].

4. （1）[g（a）=a24+a+2，a≤-2，1， -2