例析函數定義域、值域的求法

王庶

函數作為高中數學的核心內容，它的觀點及思想方法貫穿于整個高中數學的全過程，成為高考中考查數學思想方法、能力素質的主要內容. 本文結合近幾年高考試題中出現的函數定義域、值域問題，進行歸納分析，以供讀者參考.

函數的定義域

常見的函數定義域問題主要是關于根式、分式、對數函數、指數函數等函數定義域問題，通常以選擇題、填空題的形式呈現.

1. 常見函數定義域問題

例1 函數[f（x）=4-|x|+lgx2-5x+6x-3]的定義域為（ ）

A. （2，3） B. （2，4]

C. （2，3）[?]（3，4] D. （-1，3）[?]（3，6]

解析 由函數[f（x）]的表達式知，其定義域應滿足，

[4-|x|≥0，x2-5x+6x-3>0，] 解之得[-4≤x≤4，x>2，x≠3.]

即函數[f（x）]的定義域為（2，3）[?]（3，4].

答案 C

解讀 根式型函數、分式型函數、絕對值型函數、對數函數等定義域問題在歷年高考中多次被考查. 解決此類定義域問題，為防止錯解，應該先逐個列出滿足函數有意義的不等式關系，然后逐個求出相應[x]的取值范圍，最后取各個不等式的交集.

2. 抽象函數定義域問題

例2 已知函數[f（x）]的定義域為[[0，2]]，求函數[f（x2-2）]的定義域.

解析 此題是一道抽象函數定義域問題，已知[y=f（x）]的定義域求函數[y=f[g（x）]]定義域問題，通常運用整體代換的方法求解.

[∵f（x）]的定義域為[[0，2]]，

[∴0≤x2-2≤2， ∴2≤x2≤4， ∴2≤x2，x2≤4，]

[∴x≥2或x≤-2，-2≤x≤2， ∴x∈[2，2]?[-2，-2]].

解讀 這種題型一般分為兩種情況：一種是已知[y=f（x）]的定義域[A]，求[y=f[g（x）]]的定義域；一種是已知[y=f[g（x）]]的定義域[A]，求[y=f（x）]的定義域.不管是哪種情況，在解決這類問題時一定要注意函數的自變量、定義域是什么. 此外整體代換的思想是解決此類問題的主要方法.

函數的值域

從歷年的高考試題中可以看出二次函數、指數函數、對數函數等值域問題出現的頻率較高. 這類值域問題往往要通過函數的基本性質或結合函數圖象、不等式等來求解.

1. 二次函數的值域

例3 求二次函數[y=-x2+4x-2]，[x∈1，4]的值域.

解析 配方得[y=-（x-2）2+2]，[x∈1，4]，求得對稱軸為[x=2.]

根據開口方向結合函數圖象特征，求得二次函數的值域為[{y-2≤y≤2}].

解讀 解決此類問題的方法是先根據二次項系數判斷開口方向，其次是看能否通過配方法求得二次函數的對稱軸，最后結合圖象運用二次函數的對稱性求解.

2. 指數、對數函數的值域

例4 求函數[y=4-x-2-x+1，x∈[-3，2]]的最大值與最小值.

解析 [∵y=4-x-2-x+1=（2-x）2-2-x+1]，

令[2-x=t]，則[y=t2-t+1].

又[∵x∈[-3，2]， ∴14≤t≤8].

即[y=t2-t+1]，[14≤t≤8].

[∴y=t2-t+1=（t-12）2+34]，[∴34≤y≤57].

例5 求函數[y=log2x2?log2x4，x∈[1，8]]的最大值和最小值.

解析 由對數的運算性質可得，

[y=（log2x-1）·（log2x-2）]，

展開整理得，[y=（log2x）2-3log2x+2].

令[log2x=t]，[x∈[1，8]]，

則[y=t2-3t+2，t∈[0，3]].

配方得，[y=（t-32）2-14][，t∈[0，3]]，

[∴-14≤y≤2].

解讀 指數、對數函數問題，其主要方法是運用換元法將指數、對數函數問題轉化為我們熟知的函數形式，比如轉化為二次函數、一次函數形式. 在轉化過程中往往用到指數、對數的運算性質，在換元替代后還應注意新變量的取值范圍.

3. 運用導數求函數值域

例6 已知函數[f（x）=ex-ax2-bx-1]，其中[a，b∈R]，[e]=2.71828…為自然對數的底數，設[g（x）]是函數[f（x）]的導函數，求函數[g（x）]在區間[0，1]上的最小值.

解析 這是一道典型的運用導數求值域的問題.

由[f（x）=ex-ax2-bx-1]得，

[g（x）=f（x）=ex-2ax-b]，所以[g（x）=ex-2a.]

又[x∈[0，1]]，[g（x）∈[1-2a，e-2a]].

（1）當[a≤12]時，[g（x）]≥0，

所以[g（x）]在[0，1]上單調遞增.

因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b].

（2）當[a≥e2]時，[g（x）]≤0，

所以[g（x）]在[0，1]上單調遞減.

因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（1）=e-2a-b].

（3）當[12所以函數[g（x）]在區間[[0，ln（2a）]]上單調遞減，在區間[（ln（2a），1]]上單調遞增.

因此，[g（x）]在[0，1]上的最小值是

[g（ln（2a））=][2a-2aln（2a）-b].

綜上所述，當[a≤12]時，[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b]；當[12