基于兒童視角的“三角形的內角和”教學

劉秀鳳

小學數學課程除了具體知識與技能的教學，更重要的是數學思維方式的滲透與數學精神的引領。面對新課程理念，不少教師在課堂上能夠注重引導兒童動手操作、自主探究、合作交流，但還是常常會忽略兒童被尊重、被發現、被激活的過程。

一、由一則案例引起的教育學反思

在一次小學數學優質課評選中，一位教師執教蘇教版四下《三角形的內角和》，先請學生說一說三角尺三個內角的和是多少度，然后讓學生猜一猜其他三角形的內角和是否也是180°，接著引導學生分小組進行驗證。在小組匯報交流如何驗證時，有的學生說：“我畫了一個銳角三角形，量出三個內角的度數后相加，和是180.4°?！庇械膶W生說：“我量的是一個鈍角三角形，三個內角的和是179.5°?！庇械膶W生說：“我量的是一個直角三角形，三個內角的和是178.9°。”教師繼續引導：“雖然他們算出的三角形的內角和不正好是180°，但可以發現它們都怎么樣？”一位學生回答：“每一個三角形的三個內角加起來大小是不一樣的。”情急之下，教師再次引導：“實際上，這些三角形的內角和都是一樣的，因為量角器量出的結果是不精確的，會出現什么情況？”學生附和：“有誤差?！苯處熇^續：“對，量角器在度量的時候是有誤差的。大家看看，它們都在哪個數左右啊？”一位學生說：“180°?！绷硪晃粚W生迅速反駁：“不對，應該是179°?！苯處煵坏貌桓骸笆?80°?！苯又?，請采用“撕、拼”方法的學生交流他們是怎樣驗證的……

上述教學案例并不是“偶然為之”的特例，而是《三角形的內角和》一課的教學中經常會出現的場景。筆者首先從教育學視角作如下反思：

教育究竟是什么？教育家杜威早就做出了回答：教育即生長；學校即社會?！吧L”即發展，自然發展，教育應是一種自然發展的過程，教育必須從探索兒童的能力、興趣和習慣開始。同時，兒童必然是在自然和社會環境中發展的，他們在學校不能純粹地學知識，而應在求真、向善、向美的教育雨露中澄澈靈魂，在求真、向善、向美的人生追求中自信、自強地生活。這才是教育的真諦。

從表面上看，上述教學案例中，教師注重引導學生大膽猜想、自主探究、合作交流，學生所反映的問題也得到了“圓滿”解決，但仔細推敲就會發現遠非如此。正如首都師范大學岳欣云教授所言：“‘撕、拼的方法并沒有減少誤差，只是我們用眼睛‘看不出誤差而已?！蓖艘徊秸f，即使別的實物操作的方法能夠減少誤差，也不可能消滅誤差，運用實物操作進行驗證的方法并不能真正幫助學生得出三角形內角和的準確結論。假如課堂上有學生提出“撕、拼”或其他減少誤差的方法依然有誤差，只是我們“看”不出來，三角形的內角和不是180°，那教師又該如何呢？其實，即使學生沒有提出異議，我們也很難說教師引導學生探究出了正確的結論。因為這種探究結論的順利得出是建立在學生數學知識貧乏或數學思維不健全的基礎上的，用這種方法與其說是探究出了結論，不如說是“蒙”過了學生。這種為過程而過程、為探究而探究的教學失去了其應有的價值。

二、基于哲學視角的再審視

數學的所有結論都是用命題的形式表達的，數學定理、法則、定義都是一種命題。命題是一種話語，是可以進行“是否”判斷的話語。數學在概念和符號的基礎上，從條件出發，通過歸納推理得出結論，通過演繹推理驗證結論是否正確，這樣的論證形式是有邏輯的，因此數學具有嚴謹性。盡管一些基本的數學概念有著較為明顯的現實原型，但數學中又有許多概念并非建立在對于真實事物或現象的直接抽象之上，而是在抽象之上再進行抽象，由概念引出概念。因此，如果我們仍然機械地堅持“數學對象存在于可感知的具體事物之中”這樣一種觀念，就未免顯得過于牽強。

而“數學直覺”的主觀性和不可靠性是與數學知識的客觀性和確定性直接相沖突的。雖然一般自然科學的知識普遍被認為是經驗的，但人們同時又認為數學知識是與一般自然科學知識完全不同的另外一種真理。如果說前者是后天的、偶然的，后者則是先天的、必然的。這也就是說，數學命題所表明的只是觀念的關系，與客觀事實無關。數學真理事實上就是對經驗論立場的一個挑戰，因為按照后者的立場，一切知識都是后天的、偶然的，從而也就是可以經驗地證偽的。

就如一般的藝術創造一樣，數學是否也具有很大的主觀隨意性，或者說，其所反映的只是創造者的“主觀經驗”？德國著名哲學家、邏輯學家弗雷格曾明確指出：“如果我們相信數學的客觀性，那就沒有任何理由反對我們借助于數學對象來進行思維，也沒有任何理由反對關于數學對象的這樣一幅圖景：它們是早已存在著的，并等待著人們去驗證發現?！?/p>

在德國哲學家康德看來，嚴格的數學命題永遠是先天的判斷，而非經驗的判斷，因為它們具有不能來自經驗的必然性。即使我們在實際度量中發現一個三角形的內角和并不是180°，我們也不會說我們已經推翻或證偽了“三角形的內角和是180°”這一命題，而會說我們的度量有問題……這也就是說，數學知識似乎不是單純地憑經驗就可以證偽的。

可以說，上述教學案例中的教師成了被限制了思維的“套中人”，深陷“路徑依賴”——一旦作了某種選擇，就好比走上了一條不歸之路，慣性的力量會使這一選擇不斷自我強化，并使他不能輕易地走出去。換句話說，教師一旦選擇了某種思維方式，其慣性會讓他難以用另一種方式思考，就像金絲雀在籠子里待久了反而不敢飛出已經打開了門的籠子一樣。

三、基于兒童視角的重新建構

所謂兒童視角，是指站在兒童的角度（立場）來思考或觀察周圍的事情（物）?？上У氖?，一直以來，大多數教師比較習慣于直接講授知識本身，很少關注知識對于兒童的生活的意義和價值。兒童也可能已經習慣了沒有交代意義或者沒有弄清楚意義的學習。這背后隱含著一個假設：兒童是來學習知識的，老師講什么知識兒童就自然應該學習什么知識，也就是說，兒童學習知識是沒有條件的，不管知識對他是否有意義或價值。

鑒于兒童的認知特點，小學數學探究教學對數學經驗的依賴尤為突出。在數學經驗與數學形式不發生矛盾時，探究會進行得比較順利，但在二者發生矛盾時，就需要以數學的形式性為準，兼顧數學的經驗性。在教學《三角形的內角和》一課時，我們面對的就是數學內容的形式性、演繹性與數學發現的經驗性、歸納性發生矛盾的情況。

因為在“由經驗到概念”的思路中，數學經驗是第一位的，在數學概念與數學經驗發生沖突時，數學概念要符合數學經驗。實踐操作必然存在誤差，所以，“由經驗到概念”的歸納思路無法推導出三角形內角和的精確結論。三角形內角和的準確論證應該通過“從概念到概念”的演繹才能得出，然而，對兒童來說，幾何演繹推理遠遠超出了他們的接受能力和認知水平。因此，我們還需要改變角度，采取“由概念到經驗”、演繹與歸納相結合的思路（即把前人演繹推導得出的結論與兒童的歸納驗證相結合），從讓兒童推導未知的結論轉為讓兒童驗證已知的理論，即先告訴學生前人已經得出結論“三角形的內角和是180°”，然后問學生能用什么辦法進行驗證，從而啟發學生可用多種方法進行驗證。學生操作驗證后得出來的結論雖然不一定正好是180°，但他們不會想到是定理錯了，而會認為自己的操作經驗存在誤差。因為在“由概念到經驗”的思路中，前人運用演繹法推導出來的概念是第一位的，而經驗歸納主要起到輔助驗證、培養兒童的數學理解力及多元思維的作用，并且當數學概念與數學經驗發生沖突時，數學經驗要符合數學概念。這樣的教學，不但可以培養兒童的探究能力和創造性，還能培養兒童堅持真理、修正錯誤、嚴謹周密、實事求是的科學態度。

【參考文獻】

[1]鄭毓信.數學哲學與數學教育哲學[M].南京：江蘇教育出版社，2007：24-25.

[2]岳欣云.小學數學探究教學中的哲學思考[J].課程·教材·教法，2012（9）：101-105.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區梁徐中心小學）