多片鋼板彈簧的一種新設(shè)計方法

孫建

摘要：各種車輛的鋼板彈簧多半為中心受載的簡支疊板彈簧，本文討論了多片鋼板彈簧的可靠性設(shè)計方法。文中應(yīng)用了數(shù)理統(tǒng)計中的鞍點逼近理論，在基本隨機參數(shù)概率分布已知的前提下，應(yīng)用鞍點逼近理論，編制多片鋼板彈簧的可靠性計算程序，進而迅速準確地得到了多片鋼板彈簧的可靠性設(shè)計信息。

關(guān)鍵詞：鋼板彈簧；鞍點逼近；可靠性設(shè)計

前言

可靠性學(xué)科就是定量的研究產(chǎn)品動態(tài)質(zhì)量問題的一個學(xué)科。它對推動產(chǎn)品的設(shè)計、分析的現(xiàn)代化提供了必要的理論基礎(chǔ)和分析方法，可靠性學(xué)科所包含的內(nèi)容相當廣泛，重要包括三個方面：可靠性數(shù)學(xué)、可靠性物理（失效分析）、可靠性工程。本章立足于國內(nèi)為外可靠性方面的文獻，總結(jié)了結(jié)構(gòu)可靠性的基本理論以及結(jié)構(gòu)可靠性的分析方法現(xiàn)狀。鞍點逼近是由Daniels首次提出的一種非常有效的統(tǒng)計近似方法，鞍點逼近理論最大的特點就是公式簡潔，計算速度快，逼近效果頗高，即使在極小樣本量的情況下，也能夠得到良好的逼近結(jié)果，這一優(yōu)點在隨機變量尾概率的求解上顯得更加的突出[1-3]。

本文應(yīng)用鞍點逼近技術(shù)對多片鋼板彈簧進行了可靠性分析，在基本隨機變量概率分布已知的情況下，可以迅速、準確地得到多片鋼板彈簧隨機響應(yīng)的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)，發(fā)展了機械零部件可靠性分析理論。

1.機械零件可靠性設(shè)計的鞍點逼近法

Y=g（X）概率密度函數(shù)（PDF）可以由下式表示[4]

（1）

式中y表示的是隨機變量Y的取值，K''是Y=g（X）的累積母函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，ts是鞍點，可以通過下式求得

（2）

式中K'表示的是Y=g（X）累積母函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。根據(jù)Lugannani和Rice逼近樣本均值尾概率的分布的鞍點逼近公式計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的的分布函數(shù)為[5]

（3）

式中，（）和φ（）分別表示標準正態(tài)分布函數(shù)的累積分布函數(shù)的CDF和概率密度函數(shù)PDF。

2.單片鋼板彈簧的可靠性分析

各種車輛的鋼板彈簧多半為中心受載的簡支疊板彈簧，按一定寬度b將其截開重疊使用，工作應(yīng)力為

（4）

式中P為載荷，b、h和l為板簧的寬度、厚度和長度，n為板簧的鋼板片數(shù)。嚴格的說，應(yīng)該考慮疊板之間的摩擦對工作應(yīng)力的影響，不過實際上采用這種近似設(shè)計方法還是允許的。

根據(jù)應(yīng)力-強度干涉理論，以應(yīng)力極限狀態(tài)表示的狀態(tài)方程為

（5）

式中r為鋼板彈簧的材料強度，基本隨機變量向量為X=（r， P， l， b， h）T，這里基本隨機變量向量X的均值E（X）和方差Var（X）是已知的，并且可以認為這些隨機變量是服從正態(tài)分布的相互獨立的隨機變量。

某種汽車鋼板彈簧的幾何尺寸為（μb，σb）= （70，0.35）mm，（μl，σl）= （1100，5.5）mm，（μh，σh）= （6.5，0.0325）mm，載荷為（μP，σP）= （5537，276.85）N，材料強度（μr，σr）= （614，45.8）MPa，n=7。利用本文提出的鞍點逼近法分析單片鋼板彈簧的可靠性。

3.結(jié)論

通過隨機變量為正態(tài)分布的多片鋼板彈簧實例，驗證鞍點逼近理論分析計算機械結(jié)構(gòu)的可靠性。通過計算機程序，快速、準確的得到了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的密度函數(shù)與分布函數(shù)，并通過圖形對比的方式，將鞍點逼近分析的結(jié)果與Monte-Carlo分析的結(jié)果進行了直觀的對比，得到的結(jié)論是，利用鞍點逼近法無論是分析多片鋼板彈簧的可靠性，能得到與Monte-Carlo法非常相近的結(jié)果。

參考文獻：

[1]張義民. 汽車零部件可靠性設(shè)計[M]. 北京： 北京理工大學(xué)出版社，2000.

[2]張義民， 黃賢振， 賀向東等.任意分布參數(shù)平面連桿機構(gòu)運動精度可靠性靈敏度設(shè)計[J]. 機械科學(xué)與技術(shù)， 2008， 27（5）： 684-687.

[3]金雅娟等.基于鞍點逼近的陶瓷刀具磨損壽命可靠性分析2010中國機械工程21 （12）1462-146

[4]DANIELS HE. Saddlepoint approximations in statistics[J]. Ann Math Statistics 1954， 25（4）：631–650.

[5]Lugannani R， Rice SO. Saddlepoint approximation for the distribution of the sum of independent random variables.[J]. Adv Appl Probab 1980， 12：475–90.