多片鋼板彈簧的一種新設(shè)計(jì)方法

孫建

摘要：各種車輛的鋼板彈簧多半為中心受載的簡支疊板彈簧，本文討論了多片鋼板彈簧的可靠性設(shè)計(jì)方法。文中應(yīng)用了數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的鞍點(diǎn)逼近理論，在基本隨機(jī)參數(shù)概率分布已知的前提下，應(yīng)用鞍點(diǎn)逼近理論，編制多片鋼板彈簧的可靠性計(jì)算程序，進(jìn)而迅速準(zhǔn)確地得到了多片鋼板彈簧的可靠性設(shè)計(jì)信息。

關(guān)鍵詞：鋼板彈簧；鞍點(diǎn)逼近；可靠性設(shè)計(jì)

前言

可靠性學(xué)科就是定量的研究產(chǎn)品動態(tài)質(zhì)量問題的一個學(xué)科。它對推動產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、分析的現(xiàn)代化提供了必要的理論基礎(chǔ)和分析方法，可靠性學(xué)科所包含的內(nèi)容相當(dāng)廣泛，重要包括三個方面：可靠性數(shù)學(xué)、可靠性物理（失效分析）、可靠性工程。本章立足于國內(nèi)為外可靠性方面的文獻(xiàn)，總結(jié)了結(jié)構(gòu)可靠性的基本理論以及結(jié)構(gòu)可靠性的分析方法現(xiàn)狀。鞍點(diǎn)逼近是由Daniels首次提出的一種非常有效的統(tǒng)計(jì)近似方法，鞍點(diǎn)逼近理論最大的特點(diǎn)就是公式簡潔，計(jì)算速度快，逼近效果頗高，即使在極小樣本量的情況下，也能夠得到良好的逼近結(jié)果，這一優(yōu)點(diǎn)在隨機(jī)變量尾概率的求解上顯得更加的突出[1-3]。

本文應(yīng)用鞍點(diǎn)逼近技術(shù)對多片鋼板彈簧進(jìn)行了可靠性分析，在基本隨機(jī)變量概率分布已知的情況下，可以迅速、準(zhǔn)確地得到多片鋼板彈簧隨機(jī)響應(yīng)的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)，發(fā)展了機(jī)械零部件可靠性分析理論。

1.機(jī)械零件可靠性設(shè)計(jì)的鞍點(diǎn)逼近法

Y=g（X）概率密度函數(shù)（PDF）可以由下式表示[4]

（1）

式中y表示的是隨機(jī)變量Y的取值，K''是Y=g（X）的累積母函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，ts是鞍點(diǎn)，可以通過下式求得

（2）

式中K'表示的是Y=g（X）累積母函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。根據(jù)Lugannani和Rice逼近樣本均值尾概率的分布的鞍點(diǎn)逼近公式計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的的分布函數(shù)為[5]

（3）

式中，（）和φ（）分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的累積分布函數(shù)的CDF和概率密度函數(shù)PDF。

2.單片鋼板彈簧的可靠性分析

各種車輛的鋼板彈簧多半為中心受載的簡支疊板彈簧，按一定寬度b將其截開重疊使用，工作應(yīng)力為

（4）

式中P為載荷，b、h和l為板簧的寬度、厚度和長度，n為板簧的鋼板片數(shù)。嚴(yán)格的說，應(yīng)該考慮疊板之間的摩擦對工作應(yīng)力的影響，不過實(shí)際上采用這種近似設(shè)計(jì)方法還是允許的。

根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論，以應(yīng)力極限狀態(tài)表示的狀態(tài)方程為

（5）

式中r為鋼板彈簧的材料強(qiáng)度，基本隨機(jī)變量向量為X=（r， P， l， b， h）T，這里基本隨機(jī)變量向量X的均值E（X）和方差Var（X）是已知的，并且可以認(rèn)為這些隨機(jī)變量是服從正態(tài)分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。

某種汽車鋼板彈簧的幾何尺寸為（μb，σb）= （70，0.35）mm，（μl，σl）= （1100，5.5）mm，（μh，σh）= （6.5，0.0325）mm，載荷為（μP，σP）= （5537，276.85）N，材料強(qiáng)度（μr，σr）= （614，45.8）MPa，n=7。利用本文提出的鞍點(diǎn)逼近法分析單片鋼板彈簧的可靠性。

3.結(jié)論

通過隨機(jī)變量為正態(tài)分布的多片鋼板彈簧實(shí)例，驗(yàn)證鞍點(diǎn)逼近理論分析計(jì)算機(jī)械結(jié)構(gòu)的可靠性。通過計(jì)算機(jī)程序，快速、準(zhǔn)確的得到了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的密度函數(shù)與分布函數(shù)，并通過圖形對比的方式，將鞍點(diǎn)逼近分析的結(jié)果與Monte-Carlo分析的結(jié)果進(jìn)行了直觀的對比，得到的結(jié)論是，利用鞍點(diǎn)逼近法無論是分析多片鋼板彈簧的可靠性，能得到與Monte-Carlo法非常相近的結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

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[4]DANIELS HE. Saddlepoint approximations in statistics[J]. Ann Math Statistics 1954， 25（4）：631–650.

[5]Lugannani R， Rice SO. Saddlepoint approximation for the distribution of the sum of independent random variables.[J]. Adv Appl Probab 1980， 12：475–90.