Peridynamics理論在材料可靠性分析中的數值方法

樊淋

摘 要：Peridynamics理論是近年來得到迅速發展的一門新興的近場動力學理論，該理論是通過積分的方式進行建模，不需要其它附加的條件就能分析陶瓷、混凝土等材料的受力情況。

關鍵詞：PD理論；積分；連續；分子動力學

1.概述

在固體力學中有很多不連續問題是自發形成的，基于連續介質力學的數值算法不能有效的解決該類問題。為了有效解決固體力學中的不連續問題，Peridynamics理論在近年來得到了迅速的發展。

2.PD理論簡介

PD理論是由Silling教授于2000年提出的，根據牛頓第二定律，得到PD理論的基本運動方程：

（1）

式中 為點 的一個近場鄰域， 為位移場， 為體力密度場， 為材料的密度， 為成對的PD力函數。現用 表示相對位置， 表示相對位移。PD力函數應滿足牛頓第三定律，且兩物質點間的相互作用力應與兩物質點間的相對位置平行，由此可得PD力函數的通用公式：

， （2）

其中 為標量函數。如果材料中物質點 的運動軌跡經過任意一個閉合回路 后，對物質點x所做的功為零，則該材料可用微觀彈性PD模型來描述。如果PD力函數連續可微，必然存在一個標量函數 ，使得：

， （3）

由（3）式可知，必然存在一個標量函數 ，使得：

， （4）

將（4）式帶入（3）式，得到微觀彈性材料PD力函數的一般形式：

， （5）

由此可構建微彈性PD模型的本構力函數，Silling教授基于這一思路構建的微彈性PD模型應用較為廣泛：

（6）

其中拉伸率s被定義為： 是用來判斷物質點破壞情況的一個函數：

（7）

為材料的臨界伸長率，當其伸長率超過 后，兩物質點間就產生斷裂。

（8）

式中 為材料的體積模量， 為楊氏模量。假設一個物體 經受一個均勻的變形，在物體 中選取一個點 ，過點 做一平面 將 分為 和 兩部分，單位矢量 為平面 的法線且過點 ，定義一條直線 ：

（9）

則點 沿方向 的面力密度 為：

（10）

由此可與傳統Piola-Kirchhoff應力張量 建立等式：

（11）

為實現數值積分，可將（1）式的基本運動方程離散為求近場點 處晶格的體積積分：

（12）

其中 為晶格的體積， 為體積縮減系數。

3.數值算例

考慮一陶瓷材料，承受單軸拉應力，假定陶瓷材料為各項同性的微觀彈性材料，其楊氏模量為 ，近場鄰域的半徑為 ，泊松比為0.25，極限拉伸系數為 ，所受Y方向單軸拉應力為：

將晶格間距設為 時（ ）時，聯立式（15）及式（18）求積分，求出材料的受力情況為：

由于受計算機計算精度及數值離散的影響，所得到的應力矩陣為非對稱矩陣，可以看出當 時通過PD理論運算出的受力情況與實際受力情況之間的誤差為0.63%。

4.結論

PD理論經過十多年的發展，已經形成了一套完整的理論，PD理論在分析固體材料的損傷及斷裂方面的優勢，使其分析不連續問題時具有強大的優勢。通過積分求解，將近場鄰域劃分的段數越多，誤差越小，但當劃分的段數大于12段之后誤差變化就不太明顯，因此將近場鄰域分為12段，此時的精確度為0.31%，已能夠精確的反應材料的受力情況，不需再過多劃分近場鄰域的段數，而影響整個積分計算的計算效率。

參考文獻：

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[2]S.A.Silling.A meshfree method based on the peridynamic model of solid mechanics[J]. Computers and Structures 83 （2005）1526-1535

[3]S.A.Silling，R.B.Lehoucq.Convergence of Peridynamics to Classical Elasticity Theory[J].J Elast（2008）93：13-37

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