導學“數據的收集、整理與描述”

田載今

統計學是處理信息的科學，各種各樣的信息大多可以用數字形式來描述，這些數字在統計學中被稱為數據，統計過程包括對數據的收集、整理、描述、分析等環節.不論是研究已經發生的事件，還是推斷未來將要發生的事件，統計工作都越來越顯示出重要的作用，由于信息科學的迅猛發展，大數據（印海量的、多樣的、高增長率的數據）的處理已經成為現代生活中要解決的問題.

人教版初中數學教科書的第十章“數據的收集、整理與描述”包含以下內容：

（1）以抽樣調查為重點，介紹收集、整理數據；

（2）以直方圖為重點，介紹描述數據；

（3）結合實例展示統計調查的基本過程，

下面以一個具體問題為例，介紹這一章的重點知識，希望能幫助同學們理解相關內容.

問題：某工廠大批量生產了某種型號的顯示器.作為衡量質量好壞的一項重要指標，這批顯示器的平均使用壽命是廠家應該提供的，那么這批顯示器的平均使用壽命是如何得到的呢？

一、抽樣調查，收集數據

這批顯示器的平均使用壽命，應是所有顯示器的使用壽命之和除以顯示器總數所得的商.但是，把每一臺顯示器都用到壞掉為止再得出結論顯然是不合常理的.實際上，廠家的做法通常是：采取某種方式從這批顯示器中隨機抽取若干臺進行試驗，分別測出它們的使用壽命，然后用它們的平均使用壽命估計這批顯示器的平均使用壽命，

統計學中通常把要考察的全體對象叫作總體，總體中的每個成員叫作個體.在上述問題中，每一臺顯示器（具體來說是每一臺顯示器的使用壽命）是個體，對每個個體都收集數據的調查方法，叫作全面調查，廠家所用的調查方法顯然不可能是全面調查，而是從總體中抽取一部分個體，這種方法叫作抽樣調查，所抽取的那些個體合起來叫作總體的一個樣本.

如果總體范圍太大或試驗具有破壞性，則全面調查不可行，可采用抽樣調查的方法，為使樣本的數據能較為真實地反映總體狀況，選取樣本時應注意隨機性，即保證每個個體都有平等的機會被抽取到樣本中，這可以減少片面性，提高調查的可信度，降低出現偏差的可能性，此外，還應使樣本容量（即樣本中個體的數量）大小合適.樣本容量太小反映不出實際情況，樣本容量太大就會造成浪費.

在上述問題中，如果顯示器共有l 500臺，則可從中抽取30臺（總數的2%）作為樣本，其中30就是樣本容量，假設測得這30臺顯示器的使用壽命（單位：萬小時）分別如下：2.51、2.60、2.00、2.25.3.02、2.94、2.97、3.38、3.36、2.44、2.35、2.45、2.91、3.10、3.12、2.36、3.37、3.42、3.58、2.42、2.74、2.65、2.19、2.65、2.86、2.90、2.73、2.65、2.94、3.14.

這些是抽樣調查得出的原始數據，由此可計算出樣本的平均值為2.80（單位：萬小時）.

二整理與描述數據

收集到原始數據后，通常要對其加以整理，進一步發現其中含有的更多信息.以前面所給數據為例，其中最小值為2.00，最大值為3.58，可將數據分為8組，落在各組中的數據的個數叫作各組的頻數，于是有如表1所示的頻數分布表（每組均只含最小值而不含最大值）.

由頻數分布表已能看出分布在各組中的數據分別有多少個.為了更直觀地描述數據的分布規律，可以使用一種常用的統計圖——頻數分布直方圖，圖1就是描述前面所給數據的頻數分布直方圖.

頻數分布直方圖的橫軸表示數據的取值，每個小組對應一個小長方形.各個小長方形的下底的兩個端點分別對應各組數據的最小值和最大值，底的長度是組距，圖1中各個小組的組距都相等，其值為0.20.頻數分布直方圖的縱軸表示頻數與組距的比值，例如圖1中左邊第一個小長方形對應第一組數據，其取值范圍為2.00-2.20（不含2.20），組距為0.20，頻數為2，高為

頻數分布直方圖中各個小長方形的面積=底×高=組距×頻數/組距=頻數.因此，各組數據的頻數是由各個小長方形的面積來表示的，如果各組數據的組距相同，則各個小長方形的高之比等于各組數據的頻數之比，此時，可以直接用小長方形的高表示頻數，這樣畫圖和看圖都很方便，

將頻數分布直方圖中各個小長方形上底的中點用線段順次連接，所得的折線也能表示數據的分布規律.如圖2，其中的折線像一個“扣著的鐘”，這顯示出數據的分布大致關于2.80這個值對稱，越靠近這個值，數據就越多，越偏離這個值，數據就越少，這反映了隨機現象中一種常見的叫作正態分布的規律.

前面我們將原始數據逐一相加再除以30，得到這批顯示器的平均使用壽命為2.80萬小時.利用頻數分布規律，還有一種計算平均使用壽命的方法：用各組數據的中間值（即各個小長方形下底的中點對應的數據）乘頻數，然后相加，再除以30，即（2.lOx2+2.30x3+2.50x4+2.70x6+2.90x6+3.10 x4+3.30x3 +3.50 x2）÷30=2.80.

三，用樣本估計總體是一種統計思想

一方面，由于事物的復雜性和多樣性，一個總體中的各個個體之間可能存在差異，抽樣調查得到的數據只是在一定程度上能反映總體的情況，由樣本數據得到的結論未必十分準確，例如在上述問題中，由于顯示器是隨機抽取的，不同的抽取結果，所得的原始數據就可能不同，進而得出的樣本平均值也可能不同，樣本的平均值可能與總體的平均值有差距，這就是通常所說的隨機影響，

另一方面，盡管總體中不同的個體之間存在差異，但是作為同類事物的個體又有共性，以部分個體為代表，“解剖麻雀”“由此及彼”的思考就是有價值的.用樣本估計總體是一種重要的統計思想，雖然估計的結果不可能一絲不差，但是它可以為我們認識總體提供重要的參考.例如在上述問題中，樣本的平均值2.80（單位：萬小時）可能與總體的平均值不完全一致，但是通常情況下總體的平均值偏離2.80（單位：萬小時）的范圍不大，所以可以將2.80萬小時作為這批產品的平均使用壽命的參考值.

綜上所述，我們既要認識收集、處理數據時的隨機影響，又不能因噎廢食地忽視抽樣調查的重要性.如何抽取樣本、分析樣本更為合理？確切地說，采用哪種方法能使估計結果盡可能地接近實際情況？這是統計學中的一個重要問題.隨著學習的不斷深入，同學們會加深對統計學基本思想的認識.