淺談巧用全等變換解題

黃詩竺

【摘要】新數學課程標準指出，重視變換——讓圖形動起來。圖形的全等變換的三種基本形式：對稱、平移、旋轉，合成了大千世界許許多多千姿百態的圖形運動，為我們探索研究各種幾何圖形提供了十分有用的動態的變換方法，以動態的變換方法研究靜態的幾何圖形，真正讓幾何動起來，更好地理解數學思想和數學本質。

【關鍵詞】巧用 全等變換 解題

新數學課程標準指出，重視變換——讓圖形動起來。幾何變換或圖形的運動是幾何、也是整個數學中很重要的內容，它既是學習的對象，也是認識數學的思想和方法。而圖形的全等變換是幾何變換的內容之一。圖形的全等變換有三種基本形式：對稱、平移、旋轉，這三種變換合成了大千世界許許多多千姿百態的圖形運動，為我們探索研究各種幾何圖形提供了十分有用的動態的變換方法，以動態的變換方法研究靜態的幾何圖形，真正讓幾何動起來，更好地理解數學思想和數學本質。

對稱、平移、旋轉三種全等變換就是用運動的觀念來研究幾何問題。在解決幾何問題中，大膽構造，大手筆地運用全等變換，往往會產生意想不到的效果。下面舉例談談如何巧妙利用全等變換來解題。

一、軸對稱法

例1：已知：如圖1，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°

圖1

簡注：本題關鍵是要抓住BD是∠ABC的角平分線這一軸對稱圖形，來構建全等變換模型，可以用多種方法來解題。

方法一，在BC上取BE=BA，使⊿BAD，⊿BED關于BD對稱，∠A對應到∠BED，ED=AD=DC，則∠C=∠DEC，∠A+∠C=∠BED+∠DEC=180°；

方法二：延長BA到F，使BF=BC，使⊿BFD，⊿BCD關于BD對稱，∠C對應到∠F，FD=CD=AD，∠F=∠FAD，∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°；

方法三：過D作DN⊥BC于N，DM⊥BA的延長線于M，則⊿BMD，⊿BND關于BD對稱，則DM=DN，已知AD=CD，則RT⊿BMD≌RT⊿BND，則∠C=∠MAD，則∠BAD+∠C=∠BAD+∠MAD=180°。

二、平移法

例2：如圖2所示，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求證：AC=BF。

圖2

簡注：本題的關鍵是AC、BF在等腰三角形EAF兩腰所在的線上，因此，只要把AC或BF進行平移，構造新的等腰三角形就可以了。

方法一：過點B作BM∥AC交AD的延長線于M，易得⊿BMD≌⊿CAD，

則BM=AC，因為⊿EAF等腰三角形，易得⊿BMF是等腰三角形，則BM=AC=BF.

方法二：過點C作CN∥BF交AD的延長線于N，易得⊿BFD≌⊿CND，

則BF=NC，因為⊿EAF等腰三角形，易得⊿CAN是等腰三角形，則CN=AC=BF.

當然，本題也可以用中心對稱來證明，也非常簡單。

例3：如圖3，點D、E三等分△ABC的BC邊.求證：AB+AC>AD+AE

圖3

簡注：本題主要利用三角形的三邊關系來證明線段的不等關系，關鍵是要在同一個三角形中，因此，可以通過構建全等變換圖形平移線段來解題。

圖4

方法一：圖4，過點B作BF∥AE，過點D作DF∥AC，兩線交于點F，DF交AB于點M，即把⊿FBD平移到⊿AEC，易得⊿FBD≌⊿AEC，則BF=AE，DF=AC。在⊿FBM中FM+BM>BF，在⊿ADM中AM+DM>AD，兩式相加得FM+BM+AM+DM>BF+ AD，即AB+AC>AD+AE；

圖5

方法二：圖5，過點B作BF∥AD，過點E作EF∥AC，兩線交于點F，CF交AB于點M，即把⊿ADC平移到⊿FBE，易得⊿ADC≌⊿FBE，則BF=AD，EF=AC。在⊿FBM中FM+BM>BF，在⊿AME中AM+EM>AE，兩式相加得FM+BM+AM+EM>BF+ AE，即AB+AC>AD+AE；

圖6

方法三：圖6，過點C作CM∥AD交AE的延長線于M，過E作EF∥AB， 交AD的延長線于F，易得CM=AD，AM=2AE；EF=AB，AF=2AD。在⊿ACM中AC+CM>AM，在⊿AEF中AE+EF>AF，兩式相加得AC+CM+AE+EF>AM+ AF，即AB+AC+AD+AE>2（AD+AE），則AB+AC>AD+AE；

三、旋轉法

例4：如圖7點P為等邊⊿ABC內的一點，已知PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數。

圖7

簡注：本題主要由正三角形、正方形等旋轉圖形聯想到構建旋轉模型，關鍵是把分散的條件集中在一起，從而搭通已知和未知的關系，問題就可以迎刃而解。

簡解：把⊿BAP繞點B順時針旋轉60°，得到⊿BCQ，則⊿BAP≌⊿BCQ，

則BQ=BP=4，CQ=AP=3，∠APB=∠CQB，易得⊿BPQ是等邊三角形，則PQ=BQ=4，∠PQB=60°。在⊿CPQ中，CQ=3，PQ=4，PC=5，由勾股定理的逆定理知，⊿CPQ是RT⊿，∠PQC=90°，所以，∠APB=∠CQB=∠PQB+∠PQC=

60°+90°=150°

綜上所述，圖形的全等變換，是幾何、也是整個數學中很重要的內容，它既是學習的對象，也是認識數學的思想和方法。通過構建全等變換模型，不僅可以把分散的已知條件集合在一起，把不規則的圖形變為有規則的圖形，從而搭通已知和未知的橋梁，還可以讓學生的思維得到拓展，不斷培養他們的創新思維。

【參考文獻】

[1]義務教育《數學課程標準》（2011版），北京師范大學出版集團，2012年2月。