數學解題的6個切入點

葛秀華

求解數學題的關鍵在于準確快速地找到一個容易攻克的突破口， 以此作為解題的切入點，由點及面，逐步解決所有問題.這需要在分析題目的已知條件和所求問題特征的基礎上，正確尋找一個切入點，那么，如何尋找解題的切入點呢？本文通過實例，談談如何有效地尋找解題的切入點.

看條件——追根究底挖隱含

條件是題目構成的主要部分，也是我們解題的主要依據，所以要仔細閱讀題目，理解題意，明確題目給出了什么條件、包含什么隱含信息，這些條件與所解決的問題之間有什么關系，然后充分利用條件之間的內在聯(lián)系，挖掘條件的內涵與隱含信息，并進行合理的推測與分析、轉化，從而找到解題的切入點.

例1 已知函數[f（x）=22x+1+sinx]，則[f（-2）+][f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）=] .

解析 因為[f（x）=22x+1+sinx]，

所以[f（-x）=22-x+1-sinx=2?2x2x+1-sinx]，

故[f（x）+f（-x）=2].

則有[f（2）+f（-2）=2，f（1）+f（-1）=2].

而[f0=220+1+sin0=1]，

所以[f（-2）+][f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）=5].

答案 5

點撥 通過已知條件找到[f（-x）]，進而得到[f（x）+f（-x）][=2]，抓住這一切入點是解題的關鍵.這恰恰就是同學們很難取得突破的關鍵之處.

看結論——等價轉換尋方案

結論是解題的歸宿，審視題目結論，思考問題就有了目標，解題就有了方向.解題時利用所學知識找尋條件與結論的聯(lián)系.

例2 已知函數[f（x）=12x2+alnx].

（1）若[a=-1]，求[f（x）]的極值，并指出是極大值還是極小值；

（2）若[a=1]，求[f（x）]在[[1，e]]上的最大值和最小值；

（3）若[a=1]，求證：在[[1，+∞）]上，[f（x）]的圖象在函數[g（x）=23x3]的圖象的下方.

分析 求函數[f（x）]的極值[→]求導函數[f（x）=0]的解，即函數[f（x）]的極值點[→]將極值點代入[f（x）]求對應的極值[→]求[f（x）]在[[1，e]]上的單調性[→]比較端點值、極值，確定函數[f（x）]的最值[→]構造新函數[F（x）=f（x）-g（x）][→]研究函數[F（x）]在[（1，+∞）]上的單調性.

解 （1）由于函數[f（x）]的定義域為[（0，+∞）]，

當[a=-1]時， [f（x）=x-1x=（x-1）（x+1）x].

令[f（x）=0]得[x=1]或[x=-1]（舍）.

當[x∈（0，1）]時 ， [f（x）<0]，即函數[f（x）]在（0，1）上單調遞減.

當[x∈（1，+∞）]上， [f（x）>0]，即函數[f（x）]在[（1，+∞）]上單調遞增.

所以當[x=1]時，[f（x）]取極小值，極小值為[f（1）=12]，無極大值.

（2）當[a=1]時，函數[f（x）]在[[1，e]]上為增函數，

[∴f（x）min=f（1）=12，f（x）max=f（e）=e2+22].

（3）設[F（x）=f（x）-g（x）=12x2+lnx-23x3]，

則[F（x）=x+1x-2x2=（1-x）（1+x+2x2）x].

當[x∈（1，+∞）]時，[F（x）<0]，故函數[F（x）]在[（1，+∞）]上是減函數且[F（1）=-16<0]，

故在[（1，+∞）]上，函數[F（x）<0]恒成立，即[f（x）

所以在[[1，+∞）]上，函數[f（x）]的圖象在函數[g（x）=23x3]的圖象的下方.

點撥 （1）導數法是求解函數單調性、極值、最值、參數等問題的有效方法，應用導數求單調區(qū)間的關鍵是求不等式的解集. 最值問題關鍵在于比較極值與端點函數值的大小. 參數問題涉及的最值恒成立問題、單調性的逆向應用等，求解時注意分類討論思想的應用.（2）對于一些復雜問題，要善于將問題轉化，轉化成熟知的導數來研究.

看數據——根據數值找聯(lián)系

數據是數學運算中最基本的單元，數據之間的關系往往能暗示解題的方向，審視數據要善于觀察、分析數據，從它們之間的關系中去尋找解題的思路.

例3 求值：[cos20°cos35°1-sin20°=]（ ）

A. 1 B. [2]

C.[2] D.[3]

分析 先利用二倍角的正、余弦公式把[cos20°]以及[1-sin20°]轉化，再利用輔助角公式與誘導公式化簡即可.

解 [cos20°cos35°1-sin20°=cos210°-sin210°cos35°1-2sin10°cos10°]

[=cos210°-sin210°cos35°（cos10°-sin10°）=cos10°+sin10°cos35°]

[=222cos10°+22sin10°cos35°]

[=2sin55°sin55°=2].

答案 C

點撥 本題重點考查兩角和與差的三角公式、角的靈活拆分、二倍角公式的運用.靈活運用數據之間的關系，尋找各角的關系是解題的關鍵.

看結構——特殊結構助解題

數學問題中的條件和結論，很多都是以代數式的結構形式進行搭配和呈現(xiàn)的.在這些問題的數式結構中，往往都隱含著某種特殊關系，認真審視數式的結構特征，對數式結構進行深入分析，加工轉化，可以尋找到解決問題的切入點.

例4 已知數列[an]的前[n]項和是[Sn]，[Sn=2an-1][n∈N*].

（1）求數列[an]的通項公式；

（2）若數列[bn]滿足[bn=2n?an]，求數列[bn]的前[n]項和[Tn]；

（3）若數列[cn]滿足[cn=3n+2-1n-1?λ?an]（[λ]為非零常數），確定[λ]的取值范圍，使[n∈N*]時，都有[cn+1>cn].

解析 （1）當[n=1]時，[a1=S1=2a1-1，∴a1=1].

又[Sn+1=2an+1-1]與原式兩邊分別相減得，

[an+1=2an+1-2an，即an+1=2an].

所以數列[an]是以1為首項，2為公比的等比數列，

則[an=2n-1].

（2）因為[bn=2nan=n?2n]，

所以[Tn=2+2?22+3?23+…+n?2n，]

[2Tn=22+2?23+3?24+…+n?2n+1]，

兩式相減得[-Tn=2+22+23+…+2n-n?2n+1]

[=2-2n+11-2-n?2n+1=1-n?2n+1-2]，

所以[Tn=n-1?2n+1+2].

（3）∵[cn=3n+2?（-1）n+1?λ?2n-1][=3n+（-1）n+1?λ?2n]，

∴[cn+1>cn]，

即[3n+1+（-1）n+2?λ?2n+1>][3n+（-1）n+1?λ?2n].

即[3n+1-3n+（-1）n?λ?2n+1+（-1）n?λ?2n>0]，

即[2?3n+（-1）n?3λ?2n>0].

∴[（-1）n?λ>][-2?3n3?2n]，即[（-1）n?λ>][-（32）n-1].

當[n]為偶數時，[-（32）n-1≤][-32]，∴[λ>-32].

當[n]為奇數時，[-（32）n-1≤][-1]，∴[-λ>-1]，即[λ<1].

又∵[λ≠0].

∴[-32<λ<1]且[λ≠0].

點撥 一般遇到數列的前[n]項和與通項之間的遞推關系時，通常先轉化為單一的通項之間的遞推關系再進行解答. 對于數列求和問題，常從通項公式特征判斷求和思路.

看圖象——數形結合探思路

圖象是數學問題的幾何形式，審視圖象要把握圖象的本質特征，或賦予問題中的某些代數關系以幾何意義，借助圖象作出分析，從而提供解題途徑.

例5 設平面點集[A={（x，y）|（y-x）（y-1x）≥0}，][B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}]，則[A?B]所表示的平面圖形的面積為 .

分析 由題意知，集合[A，B]具有幾何特征，可先作出集合A、集合B對應的圖象，利用圖象進行分析.

解 由[（y-x）（y-1x）≥0]可知，

[y-x≥0，y-1x≥0，]或[y-x≤0，y-1x≤0.]

在同一坐標系中作出兩個集合所表示的平面區(qū)域（如圖）.

由圖象可知，[A?B]對應的區(qū)域為陰影部分.

根據對稱性可知，兩部分陰影面積之和為圓面積的一半，所以面積為[π2].

點撥 突破本題的關鍵是，要抓住圖象的特點，根據圖象分析，則可快速解答.

看特征——類比聯(lián)想定方法

要善于抓住題目中數、式子的關鍵特征進行聯(lián)想，“是否做過一個與你現(xiàn)在的問題有關，且已解決過的問題”、“如何把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題”、“課本上的習題或往年高考題是否有類似的影子”.通過聯(lián)想，確定解題的思路和方法.

例6 函數[f（x）=x-1-alnx（a<0），]且[?x1，x2∈（0，1]，]都有[|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|]，求實數[a]的取值范圍.

分析 對條件中的數學式子[|f（x1）-f（x2）|][≤4|1x1][-1x2|]如何進行轉化是本題的關鍵. 難點是式子中含有絕對值符號，聯(lián)想我們已經熟悉的變形，[|f（x1）-f（x2）|≤][f（x）max-f（x）min]，但不等式右邊是含變量[x1，x2]的式子，至此思路受阻.那么如何調整呢？關鍵是先去掉絕對值符號再想辦法轉化.

解 由[x1，x2]的對稱性，不妨設[0

而函數[y=1x]在[（0，1]]上是減函數，

則[|f（x1）-f（x2）|=f（x2）-f（x1）]，[|1x1-1x2|=1x1-1x2]，

所以[|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|]

[?f（x2）-f（x1）≤4（1x1-1x2）].

整理得，[f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1].

構造函數[h（x）=f（x）+4x≤x-1-alnx+4x] ，

則[|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|?]函數[h（x）]在[x∈（0，1]]上是減函數.

[∴h（x）=1-ax-4x2=x2-ax-4x2≤0]在[x∈（0，1]]上恒成立，即[a≥x-4x]在[x∈（0，1]]上恒成立，即[a≥-3].

又[a<0]，所以[a∈[-3，0）].

點撥 本題的關鍵是[|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|][?f（x2）-f（x1）≤4（1x1-1x2）][?f（x2）+4x2|≤f（x1）+4x1?]函數[h（x）]在[x∈（0，1]]是減函數.