函數與方程思想精析

張志華

函數與方程的思想在解題應用中主要體現在兩個方面：（1）借助有關初等函數的圖象性質，解有關求值、解（證）方程（等式）或不等式、參數的取值范圍等問題；（2）通過建立函數式或構造中間函數把所要研究的問題轉化為相應的函數模型，由所構造的函數的性質、結論得出問題的解.

函數思想

函數思想是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想去分析和研究數學問題的數量關系，建立函數關系或構造函數，再利用函數的圖象和性質（定義或和值域、單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等）去分析問題、轉化問題、解決問題.

1. 構造函數，運用函數的性質

例1 已知關于[x]的方程[x2-2cosx+a2=0]有惟一解，求[a]的值.

解析 記[f（x）=x2-2cosx+a2]，

則[f（x）]為偶函數，[y=f（x）]的圖象與[x]軸的交點必關于[y]軸對稱.

故[f（x）=0]有惟一解時，當且僅當[x=0].

所以[a=±2].

點撥 本例將方程的組成部分構造成函數，利用奇偶函數的對稱性解決問題.

例2 解不等式[x（1+x2+2）+（x+1）（1+][（x+1）2+2）][>0.]

解析 [x（1+x2+2）+（x+1）（1+（x+1）2+2）]具有相同的運算法則，記[f（x）=x（1+x2+2）]，

則[f（x）]為奇函數，且[f（x）=1+x2+2+x2x2+2>0.]

[∴y=f（x）是R]上的增函數.

[∴]原不等式[?f（x）+f（x+1）>0?f（x+1）>-f（x）?][f（x+1）>f（-x）?x+1>-x].

[∴x>-12].

點撥 本例將不等式的組成部分構造成函數，利用函數的奇偶性和單調性巧解復雜的不等式.

2. 選定主元，提示函數關系

例3 對于[a∈[-1，1]]，求使不等式[（23）x2+ax+1<（23）2x+a]恒成立的[x]的取值范圍.

解析 [（23）x2+ax+1<（23）2x+a?x2+ax+1>2x+a]

[?（x-1）a+（x2-2x+1）>0]

記[f（a）=（x-1）a+（x2-2x+1）（a∈[-1，1]），]

則[f（a）>0]對[a∈[-1，1]]恒成立.

[∴f（1）>0，f（-1）>0，]即[（x-1）+（x2-2x+1）>0，-（x-1）+（x2-2x+1）>0.]

[∴x∈（-∞，0）?（2，+∞）.]

點撥 此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關于[x]的不等式討論.然而，若變換一個角度以[a]為變量，即關于[a]的一次不等式[（x-1）a+（x2-2x+1）>0]在[[-1，1]]上恒成立的問題.

例4 若[a，b，c]均為實數，且[a<1，b<1，c<1]，求證：[ab+bc+ca+1>0].

解析 記[f（a）=ab+bc+ca+1=（b+c）a+（bc+1），][a∈（-1，1）]，

則易證[f（1）=（b+c）+（bc+1）=（b+1）（c+1）>0，]

[f（-1）=-（b+c）+（bc+1）=（b-1）（c-1）>0].

故[f（a）>0]對[a∈（-1，1）]恒成立，[ab+bc+ca+1>0]得證.

點撥 本題變量雖多，選定一個主元[a]，構造出關于[a]的函數輕松解決了問題.

方程思想

方程思想是分析數學問題中變量間的等量關系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或運用方程的性質分析、轉化問題，使問題獲得解決.

1. 解方程或分析方程的解

例5 已知[f（x）=x12-x-12]，問[f（x）]的反函數圖象是否經過點[（0，1）？]反函數圖象與直線[y=x]有無交點？

解析 [y=f-1（x）]圖象與直線[y=x]有無交點，

[?y=f（x）]圖象與直線[y=x]有無交點，

[?]方程[x=x12-x-12]是否有解（令[x=t，t>0]），

[?]方程[t3-t2+1=0]是否有正根.

記[g（t）=t3-t2+1，t>0]，由導數法可知，[g（t）]在[（0，23）]上遞減，在[（23，+∞）]上遞增，

[∴g（t）min=g（23）=2327>0].

[∴g（t）=t3-t2+1=0]無解.

故[y=f-1（x）]圖象與直線[y=x]無交點.

點撥 函數與方程、不等式密切相關，將函數問題轉化為方程的解或方程根的討論來解決問題.

2. 構造方程求解

例6 設橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦點分別為[F1，F2]，右頂點為A，上頂點為B. 已知[|AB|=32][|F1F2|].

（1）求橢圓的離心率；

（2）設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經過點F1，經過原點O的直線l與該圓相切.求直線l的斜率.

解析 （1）[e=22].

（2）由（1）知，[a2=2c2]，[b2=c2].

故橢圓方程為[x22c2+y2c2=1].

設[P（x0，y0）]，由[F1（-c，0），B（0，c）]得，

[F1P=（x0+c，y0）]，[F1B=（c，c）].

由已知得，[F1P?F1B]=0，即[（x0+c）c+y0c=0].

又[c≠0]，故有[x0+y0+c=0]①.

又因為點[P]在橢圓上，故[x022c2+y02c2=1]②.

聯立①②得，[3x02+4cx0=0].

而點[P]不是橢圓的頂點，故[x0=-43c]，代入①得，[y0=c3]，則點[P]的坐標為[-4c3，c3].

設圓的圓心為[T（x1，y1）]，

則[x1=-4c3+02=-2c3]，[y1=c3+c2=2c3]，進而圓的半徑[r=x1-02+y1-c2=53c.]

設直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y=kx.由l與圓相切，可得[kx1-y1k2+1=r]，即[k-2c3-2c3k2+1=53c，]整理得[k2-8k+1=0]，解得[k=4±15].

所以，直線[l]的斜率為[4+15]或[4-15].

點撥 解決直線與圓錐曲線的位置關系問題時，用到最多的是方程思想，即列方程組，通過判別式、根與系數的關系來研究方程解的情況，進一步研究直線與圓錐曲線的關系.

函數與方程思想的運用

解題時，不能局限于函數思想或方程思想，而應該根據兩者之間的相互關系，使其能相互轉化，以達到快速解題之目的.

例7 直線[y=kx+1]和雙曲線[x2-y2=1]的左支交于A，B兩點，直線[l]過點[P（-2，0）]和線段AB的中點M，求[l]在[y]軸上的截距[b]的取值范圍.

解析 由[y=kx+1，x2-y2=1][得， （k2-1）x2+2kx+2=0.]

設其二根為[x1，x2]，依條件可知[Δ>0，x1+x2<-2，x1x2>1，]

[解得1

由[P，M，Q（0，b）]三點共線得，[b=2-2k2+k+2.]

而[f（k）=-2k2+k+2在（1，2）]上遞減，

[∴f（k）∈（2-2，0）?（0，1），故b∈（-∞，-2-2）?（2，+∞）.]

點撥 不少解析幾何問題，其中某些元素處于運動變化之中，存在著相互聯系、相互制約的量，它們之間往往構成函數關系，對于直線與曲線交點問題，經常要轉化為函數與方程問題去解決.