基于諧波小波的梳狀濾波器設(shè)計及應(yīng)用

梁瑞剛　姚熾偉

摘 要：針對數(shù)字濾波器設(shè)計問題，利用諧波小波在頻域具有良好的盒形特性，以及傅里葉變換的尺度、線性、頻移特性，研究了一種通過疊加多個具有不同中心頻率的諧波小波，在頻域構(gòu)建出平頂濾波器的方法；結(jié)果表明：基于諧波小波設(shè)計的梳狀濾波器設(shè)計方法易于理解和編程實現(xiàn)，通過合理選擇帶寬參數(shù)即可設(shè)計出工程應(yīng)用所需的高性能多通帶濾波器。

關(guān)鍵詞：信號處理；梳狀濾波；濾波器設(shè)計；諧波小波

濾波是信號分析中較為常用的手段之一，它的目的主要在于信號選頻，將所需要的頻率選取出來，而將不需要的頻率成分衰減掉。當(dāng)信號在復(fù)雜系統(tǒng)中傳輸時，每通過其中的一個環(huán)節(jié)，都會受到該環(huán)節(jié)傳輸特性的影響，使信號有所變化（衰減、放大、延遲等），這就形成了更為廣泛的濾波和濾波器的概念。

按照信號處理的性質(zhì)，濾波器可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的實現(xiàn)不但比模擬濾波器容易的多，而且還能獲得較理想的濾波器性能，在數(shù)字信號處理中應(yīng)用非常廣泛。在經(jīng)典數(shù)字濾波器設(shè)計中包括無限沖激響應(yīng)濾波器（IIR，Infinite Impulse Response）設(shè)計和有限沖激響應(yīng)濾波器（FIR，F(xiàn)inite Impulse Response）設(shè)計兩大類。FIR濾波器可實現(xiàn)線性相位，為獲得較好的性能，常需要較高的階次，若對信號處理的實時性沒有特殊要求，F(xiàn)IR濾波器是較好的選擇。

經(jīng)典濾波器的設(shè)計原理和方法都很成熟。筆者利用諧波小波在時域、頻域都具有良好集中性的特點，以及傅里葉變換的尺度、線性、頻移特性，研究了一種通過多個具有不同中心頻率的諧波小波時域疊加，在頻域構(gòu)建出平頂濾波器的設(shè)計方法。利用MATLAB軟件編寫了應(yīng)用程序，并結(jié)合仿真信號進行了驗證。

1 諧波小波

1993年由英國劍橋大學(xué)D.E.Newland教授首先提出的諧波小波概念，這種小波有優(yōu)秀的緊支性以及完全"盒形"的頻域特性，具有更為廣泛意義的正交性，可以更為靈活的實現(xiàn)時頻分解，沒有二進限制。

2 梳狀濾波

廣義諧波小波實質(zhì)上等價于一個可以任意調(diào)節(jié)通帶位置的理想帶通濾波器，在實際應(yīng)用中，由于存在時域截斷，所以其頻譜會有嚴(yán)重的Gibbs現(xiàn)象，即紋波現(xiàn)象。為了壓制紋波，常用的做法是疊加邊瓣較小的窗函數(shù)，比如漢寧窗、海明窗或高斯窗。其中，漢寧窗和海明窗由于無法調(diào)節(jié)衰減頻率，因此在實際應(yīng)用中較為受限，而高斯窗可以通過調(diào)節(jié)帶寬參數(shù)來調(diào)節(jié)衰減頻率從而可以適用于各種場合。引入高斯因子而構(gòu)造的復(fù)解析帶通濾波器的時域表達(dá)式為：

其中，a為高斯窗的帶寬參數(shù)。通過設(shè)置不同的帶寬參數(shù)a就可以達(dá)到調(diào)節(jié)衰減速率的目的，使得其頻率響應(yīng)具有近似“盒形”特性，因而可以適用不同的應(yīng)用場合。

考慮到故障頻率往往是以倍頻的形式出現(xiàn)，因此將不同中心頻率的帶通濾波器相互疊加構(gòu)成—梳狀濾波器就可以更好的完成濾波功能，組合帶通濾波器的時域表達(dá)式為：

實際應(yīng)用中通過合理設(shè)置不同的參數(shù)就可以實現(xiàn)不同帶寬及通帶間隔的梳狀濾波器設(shè)計，達(dá)到多通帶濾波的功能。

3 信號仿真

利用基于諧波小波設(shè)計的梳狀濾波器來進行降噪，令高斯窗的帶寬參數(shù)a=2，構(gòu)造中心通帶的中心頻率為400Hz，中心通帶兩側(cè)通帶數(shù)為2，相鄰?fù)◣чg隔為30 Hz，各通帶帶寬為10 Hz，對信號進行卷積處理后，頻譜如圖2所示。

從圖2中可以看出干擾頻帶已經(jīng)基本濾除，信噪比由之前的4.12dB變?yōu)榱?5.8dB，在處理實際采集故障信號時，由于采集誤差的存在，邊頻帶不可能等間隔分布，因此，梳狀濾波器的通帶帶寬不能太小以確?？梢詫⒐收闲盘柼崛〕鰜怼?/p>

4 結(jié)束語

基于諧波小波原理的梳狀濾波器設(shè)計，利用了諧波小波近乎“盒形”的頻域特性，考慮到Gibbs效應(yīng)，在疊加高斯因子后其紋波衰減速率得到調(diào)節(jié)，通過疊加不同中心頻率的諧波小波就可以設(shè)計出所要求的梳狀濾波器，并通過帶寬參數(shù)a可以靈活控制中心帶寬位置和通帶間隔，因而可以利用此方法來靈活設(shè)計各種梳狀濾波器來處理實際工程應(yīng)用問題，此設(shè)計原理流程易于理解，理論支撐合理，同時由于諧波小波有明確的函數(shù)表達(dá)式，故易于通過MATLAB編程實現(xiàn)。

此方法實際應(yīng)用中需要注意以下幾個問題：

（1）為了保證濾波器的過渡帶窄，帶寬參數(shù)a應(yīng)選擇大一些。但此時為了保證通帶平直，所使用的小波個數(shù)會多一些。因此，a和？駐f的取值不唯一，可以有多種不同的組合。

（2）為了簡化設(shè)計過程，。這樣濾波器的通帶完全由起始頻率fL和組合小波的個數(shù)M確定。

（3）經(jīng)典濾波器中的低通、高通、帶通濾波器均可按單通帶濾波器設(shè)計，帶阻濾波器可按兩通道帶通濾波器設(shè)計。

（4）在多通帶濾波器設(shè)計中優(yōu)勢明顯，且每個通帶的起始頻率和帶寬可以靈活選擇，尤其對于窄帶梳狀濾波器的設(shè)計可以取得很好的性能。

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作者簡介：梁瑞剛（1991-），男，碩士研究生，從事機械振動信號診斷與特征提取研究。