光纖布喇格光柵基模到輻射模耦合分析

杜勇　陳彭

摘 要：根據耦合模理論和輻射模理論對光纖布喇格光柵（FBG）外界材料折射率大于包層折射率的情況下建立了完整的模型。基于自適應Lobatto算法將基模到輻射模的耦合方程組離散化，利用四階五級的Runge-Kutta法求解基模到輻射模的離散耦合方程組。定量地分析了FBG的透射譜隨它的外界材料折射率、長度、周期以及纖芯半徑的變化規律。研究結果對于指導FBG設計、封裝和將其作為折射率傳感器的應用都有一定意義。

關鍵詞：布喇格光纖光柵；輻射模；三層階躍波導

光纖布喇格光柵（FBG）是一種具有優良光學特性的光纖型無源器件，在光纖通信和光纖傳感領域得到了廣泛的應用[1.2]。FBG的電磁特性主要表現為纖芯內正、反向傳輸的基模之間的耦合。隨著研究的深入，進一步考慮正向基模與反向包層模或輻射模之間的模式耦合效應顯得很重要。

FBG正向基模到反向基模的耦合分析，文獻[3]進行了研究；1997年T.Erdogan等人[4]對FBG纖芯的LP01模和包層模的耦合進行了詳細的描述。文獻[5]提出了基于FBG 包層模式的折射率傳感方案， 研究了光纖通過氫氟酸腐蝕后包層模式的耦合波長隨外部折射率的變化規律。對于FBG基模到輻射模的耦合研究，報道較少。文獻[6]在假定光纖包層半徑為無限大的情況下，對FBG基模到輻射模的耦合進行了研究，顯然這與實際情況不吻合。文獻[7]首次在外界材料折射率略大于包層材料折射率，且包層半徑為有限大的情況下采用泰勒級數展開法研究FBG基模到輻射模的耦合特性。當FBG的基模和輻射耦合較弱時該方法計算簡單且誤差較小。但基模與輻射模的耦合較強時，需將泰勒級數展開至三階以上，計算復雜且誤差較大。文章在文獻[7]的基礎上，采用計算簡單且精度高的數值積分和數值微分相結合的方法，計算FBG的基模和輻射模的耦合方程，研究了FBG外界材料折射率、長度、周期以及纖芯半徑變化對FBG透射譜的影響。

1 基于三層結構的FBG輻射模研究

采用三層階躍折射率波導結構[8]來模擬FBG，如圖1所示，其中n1、n2和n3分別是纖芯、包層和外界材料的折射率，r1和r2分別是纖芯和包層的半徑。當外界材料折射率大于包層折射率時，由文獻[3]可知在波導中不存在離散的包層模式，只有連續的輻射模。

3.1 外界材料折射率對FBG透射譜的影響

圖2為FBG透射譜隨外界材料折射率（n3）的變化情況，即n3=n2、n3=1.02n2、n3=1.05n2時的FBG透射譜。所選用FBG的參數為：n1=1.451、n2=1.446、r1=4.1μm、r2=62.5μm、光柵長度L=10mm，折射率調制深度5×10-4和光柵周期Λ=530nm。由它可以看出：（1）當n3=n2時，即類似包層無限大的情況，此時波長小于1.525區間透射譜比較平滑，它表明基模被耦合到了連續的輻射模。（2）當n3>n2時，即n3=1.02n2，n3=1.05n2時，在1.526μm <λ<1.532μm區間上出現了法珀效應，這是由于光在n2和n3界面連續反射引起的。（3）在n3=n2、n3=1.02n2、n3=1.05n2時，位于1.532μm<λ<1.535μm區間上最小透射率對應的波長均為1.533μm；n3=n2時，最小透射率為0.381；n3=1.02n2時，最小透射率為0.535；n3=1.05n2時，最小透射率為0.647，由此可見以該區間內最小透射率隨著外界材料折射率的增大而增大，文獻[7]未提及此變化。該結論對FBG外部材料折射率的選取有一定的參考意義。

3.2 光柵長度對FBG透射譜的影響

圖3為FBG透射譜隨不同光柵長度（L）的變化情況。所選用FBG的參數為：n1=1.451、n2=1.446、n3=1.447、r1=4.1μm、r2=62.5μm、折射率調制深度5×10-4和光柵周期Λ=530nm。由它可以看出：（1）改變L不能改變透射峰所對應的波長的大小。（2）在1.526μm<λ<1.536μm區間上。L為5mm時，最小透射率為0.7373；L為10mm時，最小透射率為0.5304；L為50mm時，最小透射率為0.6134；L 為15mm時，最小透射率為0.3810，；L為20mm時，最小透射率為0.2719。說明改變光柵的長度可以改變透射率峰值的大小。該結論對FBG長度的選擇提供了理論依據。

3.3 光柵周期對FBG透射譜的影響

圖4為FBG透射譜隨光柵周期（Λ）的變化情況。所選用FBG的參數為：n1=1.451、n2=1.446、n3=1.447、r1=4.1μm、r2=62.5μm、光柵長度L=10mm，射率調制深度5×10-4。由它可以看出：Λ為530nm時，透射峰頂點對應的波長為1.533μm；Λ為540nm時，透射峰頂點對應的波長為1.563μm；Λ為550nm時，透射峰頂點對應的波長為1.591μm，這說明改變光柵周期可使透射峰的頂點對應的波長發生改變，即透射峰頂點對應波長隨著光柵周期的增大而紅移；反之，隨著光柵周期的減小而藍移。與此同時，Λ為530nm時，最小透射率為0.3810；Λ為540nm時，最小透射率為0.3219；Λ為550nm時，最小透射率為0.4203，說明透射譜最小透射率略微發生變化。該結論對基于FBG濾波器的制作，提供了理論依據。

3.4 纖芯半徑對FBG透射譜的影響

圖5為FBG透射譜隨纖芯半徑（r1）的變化情況。所選用FBG的參數為：n1=1.451、n2=1.446、n3=1.447、r2=62.5μm、光柵長度L=10mm，周期Λ=530nm，折射率調制深度5×10-4。由它可以看出：（1）透射率為1時，當r1為5μm透射譜寬度范圍為1.529-1.535μm；當r1為4.5μm時，透射峰寬度為1.527-1.535μm；當r1為4.1μm時，透射峰寬度為1.525-1.535μm；當r1為3.5μm時，透射峰寬度為1.521-1.534μm。說明隨著纖芯半徑的增大，透射峰的寬度會減小，反之，纖芯半徑減小，透射峰的寬度會增大。（2）在r1為5μm時，透射率最小值為0.3235；在r1為4.5μm時，透射率最小值為0.4353；在r1為4.1μm時，透射率最小值為0.3810；在r1為3.5μm時，透射率最小值為0.4009。這說明改變纖芯半徑，透射率的大小會發生細微的變化。（3）在r1為5μm時，透射峰對應波長為1.534μm；在r1為4.5μm時，透射峰對應波長為1.533μm；在r1為4.1μm時，透射峰對應波長為1.533μm；在r1為3.5μm時，透射峰對應波長為1.532μm。這說明隨著纖芯半徑的減小，透射峰略微紅移。這對FBG制作時纖芯半徑的選取有一定的指導意義。

4 結束語

采用三層階躍折射率波導結構，根據耦合模理論和輻射模理論對光纖布喇格光柵（FBG）外界材料折射率大于包層折射率且包層半徑為有限大的情況建立了完整的模型。基于數值算法計算FBG基模到輻射模的耦合方程組。定量地分析了FBG的透射譜隨其外界材料折射率大小、長度、周期以及纖芯半徑的大小對FBG的透射譜的影響。研究結果對于指導FBG設計、制作以及將其作為折射率傳感器的應用都有一定的參考價值。

參考文獻

[1]Hill K O， Meltz G. Fiber Bragg grating technology fundamentals and overview[J] . J . Lightwave Technol.，1997，15（8）：1263-1276.

[2]Loh W H ，Laming R I ，Gu X ，et al. 10 cm chirped fiber Bragg grating for dispersion compensation at 10 Gbit/ s over 400 km of non-dispersion shifted fiber [J] .Electron. Lett .，1995，31（25）：2203-2204.

[3]Erdogan T. Fiber grating spectra [J]. J . Lightwave Technol.，1997，15 （8）：1277-1294.

[4]Erdogan T.Cladding-mode resonances in short-and long-period fiber grating filers[J].J Optical Society of America A 1997，14（8）：1760-1773.

[5]惲斌峰，陳娜，崔一平.基于包層模的光纖布拉格光柵折射率傳感特性[J].光子學報，2006，26（7）：1013-1015.

[6]V. Mizrahi and J. E. Sipe. Optical properties of photosensitive fiber phase grating[J].J.Lightwave Technol.，1993，11（10）：1513-1517.

[7]Yahei Koyamadaand. Analysis of Core-Mode to Radiation-Mode Coupling in Fiber Bragg Gratings with Finite Cladding Radius[J].J.Lightwave Technol.， 2000，18（9）：1220-1225.

[8]童治，陶鋒，魏淮，等.長周期光纖光柵中基模到輻射模耦合的數值分析[J].光學學報，2003，31（1）：89-91.

作者簡介：杜勇（1971-），男，甘肅天水人，碩士，副教授，從事光電子器件研究。