關于電偶極子的研究

邱偉 陶金

摘 要：電偶極子是電介質理論和原子物理學的重要模型。該文研究了電場中的電偶極子的力矩、電勢能與電偶極子的電勢、感生偶極矩、電場線方程。最后，用MATLAB軟件來反應電偶極子激發的電場在空間上的分布情況。

關鍵詞：電偶極子 ?電場 ?電勢 ?MATLAB

中圖分類號：0441.1 ? ? ? ? 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）10（c）-0253-02

在實際生活中電偶極子的應用很廣泛。在以往電偶極子的教學當中，沒有詳細討論電偶極子，只是給出電偶極子的電場，沒有對電偶極子的力矩、電勢能、電勢電場線作詳細討論。在接下來將詳細討論這幾個問題。

1 電場中的電偶極子

1.1 對電偶極子的力矩

電場中的電偶極子受力矩作用而旋轉，使電偶極矩的方向轉向外電場方向。電偶極矩簡稱電矩，是其在單位外電場作用下受到的最大力矩。一個水分子（見圖1），顯示3個核與電子存在的區域。電偶極子從氧端（負的）指向氫端（正的）。如圖2所示在均勻外電場中的偶極子，設偶極子是一個大小各為q而中心相距d的兩個異號電荷組成的偶極矩與電場成角。由于電場均勻，電場對偶極子的合力為零，所以偶極子的質心不移動。然而，在帶電末端上力在偶極子上產生一個繞其質心的合力矩。質心位于連接兩個帶電末端的線上，離一個末端的距離為，而另一個末端的距離為，根據，所以合力矩（1）利用電場的大小和偶極矩的大小寫出的大小，所以上式中用代替并用代替，求得的大小為：，我們還可以寫成矢量形式：（對偶極子的力矩）（2），所得結果與文獻[1]相同。

1.2 電偶極子的電勢能

電偶極子的勢能與其在電場中的取向有關。當電偶極子處于平衡取向具有最小的勢能，而平衡取向是其偶極矩沿電場方向的取向。在所有其他取向的情況下它具有較大的勢能。如圖3所示，角為90°時勢能為零，根據計算當電偶極子從90°轉到其他任意時，作用在電偶極子上的電場所做的功，可求出電偶極子在該值時的勢能。根據，在任意角處的勢能為：（3）積分后得，寫成矢量形式：（電偶極子的勢能）（4）。

2 電偶極子的電勢

2.1 電偶極子的電勢

設電場中任意一點到、和電偶極子中心的距離分別是、和，電偶極子中心到點連線和電偶矢徑成角，如圖4所示，由電勢公式與電勢疊加原理，是及在點產生的電勢的代數和。即：（5），根據電偶極子的定義是非常小的，假設、和都遠遠大于，所以可得出：。得（6）。

由式（6）可以得出，電偶極子電場的電勢分別與距離、夾角、和電距都有關。可以設想一下：如果距離一定時，在電偶極子矢徑的延長線上，，這時電勢最大，;當=180°時，180°=-1，所以在電偶極子在矢徑的反向延長線上時電勢最小，;當90°時，°=0，所以電偶極子在中垂面上的電勢為零;當<<90°時，，隨角的增大而減小;當90°<<180°時，，隨角增大而減小;從上面的設想中可以得出，電偶極子的中垂面是零勢面，這個零勢面將整個電場分為正負兩個區域，一側為正電勢區域，一側為負電勢區域。電偶極子電場中某點電勢與方位角的關系如圖5所示。

2.2 感生偶極矩

許多分子，比如：水分子，具有永電偶極矩。在其他的分子（叫做無極分子）和在每個孤立的原子中，正電中心和負電中心重合，因而沒有偶極矩形成。然而如果我們把一個原子或無極分子放置在外電場中，電場使電子軌道變形并使正電中心和負電中心分離。因為電子帶負電，它們趨于沿與電場相反的方向移動。這個移動產生指向電場方向的電偶極矩。這個偶極矩被認為是電場感生的，而原子或分子被說成是被電場極化的，當電場除去后，感生偶極矩和極化消失。

2.3 用電勢求電場、電場線方程

電偶極子電勢的遠區表達式：（7），電偶極子的軸線與軸重合，其中和分別是和到點的距離。此時（7）式又可以寫成（8），電偶極子的遠區電場強度可由（8）式求梯度得到。因電勢只是坐標和的函數，于是有（9）。

從（8）式和（9）式可以看到，電偶極子的遠區場的電場強度與的三次方成反比，電勢與的平方成反比。根據（8）式，電偶極子的等電勢面方程可。

將電力線方程寫成球坐標形式，此時電場只有和兩個分量，有（10），把電場表達式（9）帶入上式（11），解上式得電偶極子遠區場的電力線方程恒量（12）。圖6給出了電偶極子為常數的平面內電偶極子遠區場電力線方程中恒量取不同的常數所對應的等電勢線和等電力線。[2]

3 用MATLAB演示電偶極子

用MATLAB演示點偶極子見圖7所示。[3]

4 結語

通過以上的研究，對電偶極子這個最基本的物理模型有了更深入的認識，以上研究只是電偶極子的電學屬性而忽略了力學屬性，電偶極子在電場中并不是靜止不動的，它收到力矩的作用會在平衡位置進行微小的振動，如果對均勻電場中的電偶極子的運動特征進行分析和討論，就能更好的掌握電偶極子這一重要的物理模型。模擬出來的圖形若能夠采用動畫的形式播放，可以給人以視覺上的享受，把抽象的問題具體化、圖形化。

參考文獻

[1] 哈里德.物理學基礎[M].機械工業出版社，2005.

[2] 張之翔.電磁學千題解[M].科學出版社，2005.

[3] 矯洪楠，侯怒.電偶極子激發的電場及其MATLAB模擬仿真[J].物理通報，2014（10）：27-29.