數學分析中的典型級數的極限問題的探討

阿不都克熱木·阿吉

摘 要：數學分析是近代數學的基礎，是大學應用數學、信息計算科學和統計分析等專業的學生的必修課，也是現代科學技術中應用最廣泛的一門課程。數學分析中幾乎所有的概念都離不開極限。因此，極限的概念是數學分析中的重要概念，極限的存在性和求極限問題是極限理論的基本問題。在數學分析教材中，作者詳細介紹了數列極限、函數的極限、數列極限的存在性及其求法以及函數極限的存在性及其求法等。在該文中，通過引進正則函數列的概念，給出求數學分析中一些典型級數的極限的一種新方法。

關鍵詞：函數列 ?正則性 ?級數 ?極限

中圖分類號：D11 ? ? ? ? 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）10（c）-0246-02

數學分析是近代數學的基礎，是大學應用數學、信息計算科學和統計分析等專業的學生的必修課，也是現代科學技術中應用最廣泛的一門課程。數學分析中幾乎所有的概念都離不開極限。因此，極限的概念是數學分析中的重要概念，極限的存在性和求極限問題是極限理論的基本問題。在數學分析教材中，作者詳細介紹了數列極限、函數的極限、數列極限的存在性及其求法以及函數極限的存在性及其求法等，見文獻[1]。在該文中，通過引進正則函數列的概念，給出求數學分析中一些典型級數的極限的一種新方法。

1 正則函數列

在這一部分中，我們引進正則函數列的定義，并且給出函數列為正則的充分必要條件。

定義1：設是定義上的函數列，

（1）

是可求和的數項級數，其部分和為并且作級數

（2）

若對于每個，級數（2）是可求和的，其普通和為，并且當時，向量值函數收斂于，則稱級數（1）按函數列是廣義求和的，稱為級數（1）關于函數列的廣義和。

定義2：設由函數列如上給出一個廣義求和法，若每個可求和的數項級數也是按函數列是廣義求和的，而且廣義和等于普通和，則稱函數列是正則的。

根據文獻[2]，可以得到以下結論：

定理1：設是定義在上的函數列。若函數列是正則的，則

（1）;

（2）;

反之，若函數列除了滿足（1），（2）以外還滿足

（3）對任意，存在常數，使≤，則函數列是正則的。

定理2：設是定義在上的函數列。若函數列是廣義的，則

（1）;

（2）;

反之，若函數列除了滿足（1），（2）以外還滿足

（3）對任意，存在常數，使≤，則函數列是正則的。

2 數學分析中一些典型級數的極限

在這一部分中，我們用函數列的正則性來討論數學分析中的一些典型級數的極限。

例1：設，都是數列，并且滿足

;

（2）;

（3）當時，級數收斂，當時，級數發散，則級數當時收斂，并且。

證明：由條件（2）與（3）可證，當時，

級數收斂。根據級數的乘法規則，我們有

=

如果令，則，

又令，，，則滿足

（1）;

（2）;

（3）對任意，

因此，根據定理1，函數列是正則的，

從而

故。

例2：若，則證明

。

證明：的冪級數展開為，若令，則滿足

（1）;

（2）;

（3）對任意，

因此，由定理2，函數列是正則的，即

故，

運用函數列的正則性，我們可以討論類似的很多問題，在這里我們不再一一舉例說明。

參考文獻

[1] 歐陽光中，姚允龍，周淵.數學分析[M].上海：復旦大學出版社，2011.

[2] 阿布都克里木·阿吉.廣義求和法的幾種推廣[J].新疆大學學報：自然科學版，1993，10（3）：28-35.