數形結合的好工具

雷昌超 仲秀英

數學是研究數量關系和空間形式的科學.數能精確地揭示研究對象的數量特征，形能直觀地刻畫研究對象的空間結構，因此數形結合思想被廣泛運用于數學的解題過程中，平面直角坐標系建立了數量與圖形之間的聯系，充分體現著數形結合思想.

“平面直角坐標系”一章主要涉及描點、求點的坐標、由圖形頂點的坐標求圖形的面積、川方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置等問題.其中，捕點問題主要有兩種類型：（I）由點的坐標描點；（2）先建立平面直角坐標系再捕點.求點的坐標的問題則有五種類型：（1）根據文字語言所描述的點的坐標特征，求點的坐標；（2）點的坐標含有參數，根據已知條件求點的坐標或確定點的坐標特征；（3）圖形位置變化與點的坐標相結合，求點的坐標；（4）圖形的面積與點的坐標相結合，求點的坐標；（5）由圖形（如平面直角坐標系、氣溫圖、地理位置圖等）求點的坐標.對于這些問題，我們都可以借助以形示數、以數解形、數形結合的思想一一解決.

一、以形示數思想

對于有的問題，我們可以直接根據題中的已知條件得到答案，而對于有的問題（例如描點問題巾的第二類、求點的坐標的問題中的前兩類），我們需要先將已知條件中的數或數量關系提煉出來，再將其轉化到圖形中，通過分析圖形解決數的問題，這就是以形示數思想，簡而言之，就是用圖形揭示數的關系和規律，借助圖形解決代數問題.

例1爺爺退休后的生活可豐富啦！他某天的日程安排如下：6：00至7：00，與奶奶一起到和平廣場鍛煉；9：00至11：00，與奶奶一起上老年大學：16：30至17：30，到和平路小學講校史.其中和平廣場位于爺爺家正東400 m處，老年大學位于爺爺家正西600m處，從爺爺家到和平路小學需要先向南走300 m，再向西走500m.請根據圖1，以爺爺家為原點，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向，以1個單位長度表示100m，建立平面直角坐標系，并標出和平廣場、老年大學和和平路小學的位置.

解析：這是一個先建立平面直角坐標系再描點的問題.我們先根據要求建立平面直角坐標系，再將題中的數量關系提煉出來，借助平面直角坐標系將用文字語言描述的點轉換成具有幾何形態的點（如圖2）.

例2 已知點A在x軸上方，在y軸左側，且點A到x軸的距離為5，到y軸的距離為4，求點A的坐標，

解析：這是一個根據文字語言所描述的點的坐標特征求點的坐標的問題，題中只有文字和數而沒有圖形，這時，我們就需要借助平面直角坐標系把用文字語言描述的點轉換成具有幾何形態的點，再求得點的坐標.

如圖3，因為點A在x0軸上方，在y軸左側，所以點A在平面直角坐標系巾的第二象限.又因為點A到x軸的距離為5，到y軸的距離為4.所以在圖形上描點可得點A的坐標為（-4，5）.

同學們想一想：不畫圖形能不能求出點A的坐標？

其實，我們可以利用平面直角坐標系的性質直接進行推理得到點A的坐標，設點A的坐標為（x，y），由點A在x軸上方，在y軸左側，可以判定點A在第二象限，則x<0，y>0.因為點A到x軸的距離為5，所以|y|=5，則y=5；因為點A到y軸的距離為4，所以|x|=4，則x=-4.從而得到點A的坐標為（-4，5）.

在以上解題過程中我們沒有用到以形示數思想嗎？當然不是！我們借助平面直角坐標系判定點A所處的象限和點A的坐標時，其實已經想象出了一個平面直角坐標系.

不管是動手畫還是想象，我們都是借助圖形直觀地展示了點A的性質，從而解決了問題，都體現了以形示數思想.

二、以數解形思想

當遇到圖形位置變化與點的坐標相結合求點的坐標的問題時，如果我們直接觀察圖形的位置變化很難得出規律，就需要把圖形中的數量關系挖掘出來，再分析、計算、推理，借助數量關系解決圖形問題，這就是以數解形思想，

例3如圖4，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點分別為0（0，0），A（3，0），B（2，2）.如果將△OAB向上平移1個單位長度，得到△O1A1B1，再向右平移2個單位長度，得到△O2A2B2.請求出△OAB內的點M（x，y）經過這種變換后得到的點M2的坐標.

解析：對于這種圖形位置變化與點的坐標相結合求點的坐標的問題，直接看圖不易得出規律.這時，我們先將△OAB進行平移后得到的△O1A1B1、△02A2B2畫出來（如圖5），通過觀察圖形寫出這兩個三角形各自的頂點坐標，即O1（0，1），A1（3，1），Bl（2，3），02（2，1），A2（5，1），B2（4，3）.再尋找三個三角形對應頂點的坐標之間的聯系：由△OAB到△O1AlB1，各頂點的橫坐標不變，縱坐標都加1，則點M（x，y）向上平移1個單位長度得到點M1（x，y+l）；由△O1A1B1到△02A2B2，各頂點的縱坐標不變，橫坐標都加2，則點M1（x，y+l）向右平移2個單位長度得到點M2（x+2，y+1）.

可以看出，要求平移后點的坐標，我們需要將圖形中的點轉換成用數表示的點，通過推導數之間的關系來求點的坐標，整個過程體現了以數解形思想，

三、數形結合思想

對于有的問題，例如圖形的面積與點的坐標相結合求點的坐標的問題、由圖形頂點的坐標求圖形的面積的問題、由圖形求點的坐標的復雜問題，有時僅僅依靠分析圖形或單純地分析、推理其中的數量關系，不能很好地解決問題，就需要將圖形的分析與數的分析、推理結合起來解題，這就是數形結合思想.

例4已知點A（-1，0），B（O，2），點C在坐標軸上，且S△ABC=2，求滿足條件的點C的坐標.

解析：這是一個圖形的面積與點的坐標相結合求點的坐標的問題.已知點A、B的坐標，我們馬上想到在平面直角坐標系中描點，將用數表示的點轉換成具有幾何形態的點.點C在坐標軸上，且S△ABC=2，則點C可能在x軸上，也可能在y軸上，如圖6.如果只畫出大致的圖形，很難確定點C的坐標；如果只用代數方法，也無法直接通過計算求解，這時，就需要將數與形結合起來解題.我們先觀察三角形，確定出：當點C在x軸上時，應以△ABC的AC邊為底，對應的高等于點B到x軸的距離2：當點C在y軸上時，應以△ABC的BC邊為底，對應的高等于點A到y軸的距離1.再根據S△ABC=2列出方程，通過分析、計算、推理，求出點C的坐標.過程略，點C的坐標為（1，0）或（-3，0）或（0，6）或（0，-2）.

在解這道題的過程中，我們既需要借助圖形來選擇合適的線段作為△ABC的底邊和高，又需要列方程求解.不管是缺少圖形還是缺少數，我們解題都會遇到困難，因而，運用數形結合思想是非常必要的，

在學習的過程中，我們要學會運用數形結合思想，學會用“兩只眼睛”讀題，“一只眼睛”要看題中的數與數量關系，“另一只眼睛”要看圖形.在分析問題時，能畫圖要盡量畫圖，借助圖形使抽象的思考對象變得直觀，從而使計算、證明等變得簡單。