平面直角坐標題 分類討論要注意

朱亞邦

我們在解與平面直角坐標系有關的問題時，經常會遇到包含多種情況的問題，稍不理解，就會漏解，這就需要我們謹慎對待，仔細分析.

一、兩種情況的討論

1.與面積有關的分類.

例1 已知點A（l，0），B（5，0），點P在y軸上，且 S△ABP=8，求點P的坐標.

解析：點A、B在x軸上，且AB=5-1=4.

點P在y軸上，可設點P的坐標為（O，h）.

由S△ABP=8可得1/2AB.|h|=8，即1/24|h|=8.

故=±4.

所以點P的坐標為（0，4）或（0，-4）.

2.與坐標軸有關的分類.

例2 已知點A（n+1，3），B（2，n），當AB平行于坐標軸時，求點A、B的坐標，

解析：應分如下兩種情況討論，

當AB平行于x軸時，點A、B的縱坐標相等，即n=3.所以n+1=4.

此時點A、B的坐標分別為（4，3），（2，3）.

當AB平行于y軸時，點A、B的橫坐標相等，即n+l=2.解得n=1.

此時點A、B的坐標分別為（2，3），（2，1）.

二、三種情況的討論

1.與正方形的頂點有關的分類.

例3在平面直角坐標系中，一個正方形的兩個頂點的坐標分別為（0，0），（-2，0），求另外兩個頂點的坐標.

解析：由已知的兩個頂點的坐標（0，0），（-2，0），可知這兩個頂點都在x軸上，而另外兩個頂點則有三種情況（如圖1）.故另外兩個頂點的坐標可能分別為（0，2），（-2，2），也可能分別為（0，-2），（-2，-2），還可能分別為（-1，1），（-1，-1）.

2.與平行四邊形的頂點有關的分類.

例4 已知一個平行四邊形的三個頂點分別為0（0，0），A（2，0），B（l，2），求第四個頂點C的坐標，

解析：共有三種情況（如圖2）.

頂點C的坐標為（1，-2）或（-1，2）或（3，2）.

三、四種情況的討論

1.與距離有關的分類.

例5 已知點P（m，n）到x軸的距離為3，到y軸的距離為5，求點P的坐標.

解析：點P（m，n）到x軸的距離為3，故|n|=3，所以n=±3；點P（m，n）到y軸的距離為5，故|m|=5，所以m=±5.

故點P的坐標為（5，3）或（-5，3）或（5，-3）或（-5，-3）.

2.與坐標軸、距離有關的綜合分類.

例6 已知點A（0，0），點B和點A在同一條坐標軸上，且點B到點A的距離為5，求點B的坐標.

解析：點B和點A可能同在x軸上（此時點B可能在點A右側，也可能在點A左側），也可能同在y軸上（此時點B可能在點A上方，也可能在點A下方），故點B的坐標為（5，0）或（-5，0）或（0，5）或（0，-5）.