數形結合的典范

徐傳勝

數與形是數學中兩個最基本的研究對象，我們在研究問題時，往往喜歡把數與形結合起來.

借助圖形思維將代數學與幾何學完美結合者首推法國數學家笛卡兒（ 1596-1650）和費馬（1601-1665）.

1.笛卡兒與解析兒何.

笛卡兒是一位杰出的近代哲學家，是近代生物學的奠基人，是一流的物理學家，

笛卡兒試從三種不同途徑研究數學：從哲學角度，把數學方法看作是在一切科學領域建立真理的基礎：從自然科學角度，廣泛研究了力學、靜力學、光學和生物學等，其《幾何學》就有一部分涉及光學；從數學應用角度，致力于尋找數學的應用價值，這迥別于古希臘學者，

笛卡卜兒對當時幾何學和代數學的研究方法進行了較為詳盡的分析和比較.雖然幾何圖形易于展示某些事物的性質，但他認為“古人幾何學”只限于形象，尤其對歐兒里得幾何的每個證明都要求某種奇巧想法而深感不安，

笛卡兒看到了代數學具有作為普遍科學方法的潛力，認識到其程序機械化和減少工作量之價值.他認為當時的代數學嚴重受到了公式和法則之束縛，完全不像一門改進思想的科學.鑒于此，笛卜兒對幾何學、代數學進行了有機融合，從而創立了解析幾何，

笛卡兒解析兒何思想有兩個基本觀點：一是坐標觀點，用坐標表爪點的位置，從而把坐標通過點動成線具體運川到曲線（或直線）方程建立上：二是把有關聯的兩個變數的任意代數方程，看成平面上的一條曲線（或直線）.這樣運動就進入了數學，從而為微積分產生奠定了理論基礎.

2.費馬與解析幾何，

費馬出身于商人家庭，有幸接受了良好教育并當上圖盧茲大法官.為避免社會動蕩時期政治風波之影響，費馬將業余時間全都用于閉門讀書，被稱為“業余數學家之王”.他只對能夠創造未被他人觸及的定理所帶來的那種愉悅而感到滿足.解析幾何、微積分、概率論和數論，不管是哪個數學分支的成就都可以讓費馬在數學殿堂占有一席之地.

費馬的相關研究不僅使網錐曲線從圓錐附屬地位解放出來，而且構建了曲線（或直線）和代數方程的對應關系，給l代數方程的一般表示方法和研究工具.

雖然笛卡兒和費馬都研究了解析幾何，但其基本思想、研究目的和研究方法卻有著不同.費馬主要是繼承古希臘幾何學思想，未能完全擺脫阿波羅尼奧斯靜態研究幾何曲線的影響，而笛卡兒則是從批評古希臘傳統出發，為幾何學注入了新活力.雖然用方程表示曲線（或直線）之思想在費馬的研究中較為明顯，但真正發現代數方法威力者應是笛卡兒，

后來，解析幾何得以迅速發展.至19世紀80年代，古典解析幾何已逐步向向量分析或向量代數方向發展.歷史研究表明：笛卡兒方法論原理旨在尋求發現真理的一般方法，其《幾何學》思路與傳統方法大相徑庭.他主張“汲取幾何學和代數學中一切最好的東西，互相取長補短”.而解析幾何像一座橋梁，使得兩個彼此相隔的領域（即幾何學與代數學）在笛卡兒、費馬那里實現了和諧統一，使之互相吸取了新鮮的活力：既可使幾何目的通過代數達到，又可給代數概念以幾何解釋.解析幾何方法由于具有解決各類問題的普遍性，現已成為幾何研究中的基本方法之一。