坐標系中求面積

宋愛華

在平面直角坐標系中求三角形的面積，需要根據三角形中各頂點的坐標確定底邊長和高，進而求出三角形的面積.而對于四邊形、五邊形等，往往需要借助三角形來求面積.

例1 如圖1，△ABC的三個頂點分別是A（2，3），B（4，0），C（-2，0），求△ABC的面積.

解析：觀察圖形可知，BC邊在X軸上，且BC邊的長易求.要求△ABC的面積，還應確定BC邊上的高.根據點A（2，3）可知，BC邊上的高是3.

Bc=|4-（-2）|=6，所以S△ABC=1/2×6×3=9.

點評：當三角形有一條邊在坐標軸上時，則以這條邊為底邊，其長度等于這條邊上的兩個頂點的橫（縱）坐標之差的絕對值，這條邊上的高等于另一個頂點的縱（橫）坐標的絕對值.

例2 如圖2，在平面直角坐標系中，已知點A（-3，-2），B（0，3），C（-3，2），求△ABC的面積.

解析：只有AC邊的長容易求得，所以先求出AC邊的長，再找到AC邊上的高.

如圖2，作AC邊上的高BD.

根據點A（-3，-2），C（-3，2），可求得AC=|2-（-2）|=4，BD：|-3|=3，所以S△ABC×4×3=6.

點評：當三角形有一條邊與坐標軸平行時，則以這條邊為底邊，其長度等于這條邊上的兩個頂點的橫坐標之差的絕對值（平行于X軸時）或縱坐標之差的絕對值（平行于y軸時），這條邊上的高等于另一個頂點到這條邊所在的直線的距離.

例3 如圖3，△ABC的三個頂點分別是A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），求△ABC的面積.

解析：參照圖3作輔助線，則四邊形ADEC是直角梯形.

根據點A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），可求得AD=4，CE=6，DB=4，BE=1，DE=5，所以S△ABC=1/2（AD+CE）·DE-1/2AD·DB-1/2CE·BE=1/2×（4+6）×5-1/2×4×4-1/2×6×1=14.

點評：當三角形的三條邊都不與坐標軸平行時，可過三角形的頂點作與坐標軸平行的直線，將三角形的面積轉化為直角梯形或長方形與直角三角形的面積之差的形式.

例4 如圖4，四邊形ABCD的四個頂點分別是A（4，2），B（4，-2），C（0，-4），D（0，1），求四邊形ABCD的面積.

解析：參照圖4作輔助線，則四邊形ABCE是直角梯形.

AB=|2-（-2）|=4，CE=|2-（-4）|=6，DE=1，AE=4，S四邊形ABCD=1/2（AB+CE）·AE-1/2DE=1/2×（4+6）×4-1/2×1×4=18.

點評：求一般四邊形的面積時，可將一般四邊形的面積轉化為特殊四邊形（如直角梯形）與特殊三角形（如直角三角形）的面積之和或面積之差的形式.