例談構造輔助函數思想在解題中的應用

摘 要：函數思想是探究數學問題方式的最有機組成部分，構造函數的方法是數學中重要的思想方法之一，不少數學問題的解決，使用構造函數的方法，構思巧妙，方法簡便，思路清晰，往往能收到事半功倍的效果，從問題的本身的特點出發，創造性的構造一個輔助函數，再利用函數的奇偶性、單調性、可導性以及函數圖像的特征來解決問題。該文從構造的視角出發，就構造輔助函數這一思想在不等式、數列、三角函數、方程根的存在性等方面的具體應用中去觀察、分析、解決問題中探討，通過典型例題的解決，以求給人一些啟發。

關鍵詞：構造法 輔助函數 特征函數 方程根的存在性

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）09（c）-0134-02

構造法是指當解決某些數學問題使用通常方法按照定向思維難以解決問題時，再根據題設條件和結論的特征、性質，從新的角度，利用新的觀點去觀察、分析、理解條件，把握反映問題的條件與結論之間的內在聯系，運用問題的數據、外形、坐標等特征，運用已知數學關系式和理論為工具，在思維中構造出滿足條件或結論的數學對象，從而，使原問題中隱含的關系和性質在新構造的數學對象中清晰地展現出來，并借助數學工具方便快速的解決數學問題的方法。

1 構造輔助函數，利用函數的單調性

有些不等式的證明和比較大小等問題，如果能根據其問題結構特征，構造相應的輔助函數，從函數的單調性或者最值入手，再去分析、推理，判斷，證明過程可能就會變得既簡單又明了。

例1 ：若要證明下面數學中常用的兩個常用的重要極限公式

（1）；（2）（變形）

只需要證明一下兩個不等式，當時，

（1）；（2）（當時，

）。

以下是用通過構造函數法給出上面兩個不等式的證明。

（1）構造輔助函數，則≥0，所以函數在上單調遞增，所以，即。

（2）構造輔助函數，則

。所以函數在上單調遞增，，所以，即，要證不等式兩邊取對數，即證事實上：可設則因此得不等式，可構造輔助函數下面證明需要函數在上恒大于0。因為所以在上單調遞增，從而使得即所以因此證畢。

說明：有些不等式的證明，如果采用常規方法，往往不容易下手或者比較冗繁，但是若從函數思想的角度去考慮，按照函數的某些性質適當構造函數模型，從而就能使問題就可能變得容易解決。

2 構造特征函數，巧妙證明不等式

不等式的證明是數學中的一個難點，除了教材上常見的比較法、分析法、綜合法、反證法外，若能根據試題形式結構的特征，構造合適的函數，從函數的單調、對稱性、可導性等等方面入手分析，就有可能進行快速準確的證明，這樣既培養了學生的創新能力又解決了不等式的證明問題。

例2：已知為正實數，證明：≥

證明：可設，即可構造特征函數，由于為正實數，可得≥，由函數在區間上是單調遞增，可得當時，函數取得最小值，不等式證畢。

說明：利用構造函數法證明不等式，解題的關鍵在于能夠敏銳的觀察不等式的結構特征，聯想并構造合適的函數，由于不等式和函數之間并沒有直接的相關關系，因此，究竟應該如何尋找解題的突破口，如何構造合理可行的函數，也就成為解決問題的關鍵所在，該例題為證明不等式，在這里借助構造特征函數的方法進行處理，首先巧妙構造特征函數，再利用其單調性進行問題的證明，實際效果絕佳，思路既清晰又簡潔[1]。

3 構造類型特征函數，巧解三角函數不等式

在不等式的證明中三角函數不等式也是常見的類型，抓住三角函數的奇偶性、周期性和對稱性這些特殊性質。在解題過程中只要充分利用三角函數的這些特殊性質就可以既輕松又快速的解決問題。

例3：設，試證

≥0。

解析：可將原式等價轉化為

≤

即證不等式：≥，從而可由構造特征函數，因此只需通過導函數在區間為減函數，從而可證明函數在內為減函數，即：可完成上式的證明。

說明：在日常的教學活動中，要注意積累素材，一定要熟悉典型的函數模型，培養學生的“類型題”的意識，使學生養成良好的數學學習與思考的習慣，這樣才能在解決數學問題時，才能做到游刃有余，構造最合適的函數模型來解決問題[2]。

4 方程根的存在性的證明

例4：證明方程：在區間內存在唯一的實根。

解析：由題意可構造函數，判斷該函數在題目要求的區間內滿足根的存在性定理，那么就能說明在此區間內至少存在有根，若再能證明在該范圍內此函數是單調的，即可說明根的唯一性。

證明：令函數

因為，，所以，由根的存在性定理可知：至少存在一點，滿足又因為當時，，所以函數在區間上單調遞增。故在區間內有且只有一個零點，即，此方程存在有唯一的根的證，證畢。

說明：零點定理是數學中一個非常重要的定理，使用此定理，能快速準確的解決很多復雜數學問題，因此要重視培養學生習慣利用定理、性質等數學工具解決數學問題[3]。

總之，函數思想是數學中最重要的數學思想，函數思想的建立使常量數學進入了變量數學，學會用函數和變量來思考問題，學會轉化已知與未知的關系，利用函數的性質做工具去發現問題、分析問題、解決問題。一個人僅僅學習了函數的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函數思想，才能主動的去思考一些問題。因此，在解決數學問題時，構造輔助函數是基本的數學思想，構造的對象和類型可以是多樣的，由于構造法是一種創造性的思維活動，對個人的能力要求特別高并且構造思路又因不同的題型而不同，所以要求我們從問題的實際出發，抓住問題的本質，打破思維常規創造性利用所學的數學知識去解決新的問題[4]。

參考文獻

[1] 祁祺.巧借構造函數破解高中數學難題[J].中學數學教學參考，2014（7）：92-93.

[2] 毛巨根.證明不等式的一種巧妙方法[J].紹興文理學院學報，2009（9）：21-25.

[3] 王琪.構造函數，探索解題新路[J].蘭州石化職業技術學院，2005（2）：26-27.

[4] 周學良.新課標下中職數學教師的角色轉變[J].數學學習與研究，2014（19）：51.