對高等數學建模最優化理論的探究

董晴

摘 要：數學建模就是要對一個實際存在的問題做出必要的簡化與假設，將其轉變成一個數學問題，并且利用各種數學方法及公式精確的或近似的解決該問題，并且達到利用數學結果對該實際的問題進行解釋和回答，以及接受客觀實際的檢驗。數學建模的廣泛應用，不僅在工程技術、自然科學等領域發揮著無與倫比的重要作用，并且在廣度和深度上還可以滲透到了新的領域中，如，軍事、醫學、經濟、生物、環境、人口、金融等等。因此，在現代高新技術產業中，數學優化建模的問題已經成為了重要組成部分。在此，對最優化的理論在求解數學模型中的應用做了實際的探討。

關鍵詞：最優化理論 數學 建模 探究

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）09（a）-0236-02

1 建模與最優化

1.1 建模的含義與意義

數學中所說的建模就是運用數學的表達方式將客觀存在的問題描述出來的整個過程。在這個描述的過程中，最重要的就是“建”，應該讓學生的創造性思維在這一過程中被激發出來。建模不僅僅只是停留在數學知識上，而且它還在現實世界上更具有重要意義。

從傳統來看在普通的工程技術方面，數學建模已然擁著有很重要的地位。但是，隨著社會科技的發展，一些新技術的出現，例如：軍事、醫院、經濟、生物等，這些新技術的出現往往伴隨著新的問題產生。普通的數學模型顯然已經不能解決這些新出現的新問題，如果能夠將數學模型和計算機模擬相結合產生的CAD技術廣泛應用起來便可以輕松的解開這些問題。由于其速度快、方便、實用等特點已經廣泛的替代了傳統手段。在高新技術方面，數學建模是不能被其他方式方法所替代的。

1.2 建模的基本方法

在數學建模的過程中可以運用的方式很多，如，類比法、二分法、量綱分析法、差分法、變分法、圖論法、層次分析法、數學規劃、機理分析、排隊方法、對策方法等等，在這里只簡單介紹三種常見方法。

（1）機理分析法：從認識每件事物本質的不同開始，找到能夠反應事物內部機理的規律。值得注意的一點是，機理分析并沒有固定的模式的，是需要結合實際案例來進行科學的研究。

（2）測試分析法：經過多次反復的試驗和分析，從中找到與提供的數據最為符合的模型。

（3）二者結合：選擇機理分析建立模型結構，選擇測試分析找到模型參數。

1.3 數學建模的步驟

確定一個數學模型的辦法不只一個，根據問題的不同，就要學會選擇建模的方式。即便是相同的問題也要從多個角度考慮，能夠建立出多個不相同的數學模型，具體建模的方法和步驟如下。

第一，模型準備。如果要對一個問題建立數學模型，必須要提前了解該次建模所要達到的目的，然后要盡可能多的收集與之相關的問題進行分析，深入細致的調查與研究，盡量避免可能會發生的錯誤。

第二，模型假設。一般情況下一個實際問題會涉及到很多因素，但是要想轉變為實際數學問題，不需要各個方面都考慮到，只需要抓住其中的主要因素，對其進行與實際想吻合的假設即可。

第三，模型建立。要以實際問題的特征為依據，用數學工具根據已有的知識和搜集的信息進行建立正確的數學結構，要明確決定使用的數學結構、數學工具的類型。只要能夠達到最終所要的目的，選擇的數學方法越簡單越有利于構建數學模型。

第四，模型求解根據前幾步所得到的資料，可以利用各種數學上的方式方法進行求解。在這個過程中，可以充分使用現代計算機等輔助工具。

第五，模型分析、檢驗。在得出結論后，要將結論與事實進行比對，避免造成過大誤差，以確保模型的合理性、準確性以及適用性。如果與事實一樣，就可以進行實際運用。反之，則修改，重新建模。

事實上，現實生活中的問題是復雜多樣的，甚者有時千差萬別，有時必然事件和偶然事件會共同存在其中。在探索某件事情的過程中，因為其不斷地變化，所以一般不能輕易的求得變量之間存在的關系，建立方程。所以，在錯綜復雜的變量中，一定要要能夠從這些變量中選擇主因，確定變量，找出其中真正存在的隱含聯系。

1.4 最優化的含義

最優化技術是近期發展的一個重要學科分支，它可以用在多種不同的領域，例如：經濟管理、運輸、機械設計等等。最優化的目標是要從這些多種辦法中選出最簡便的辦法，將這個可以最簡便達到目標的辦法就叫做最優方案，尋找的這個最佳方法叫做最優化方法，關于這個方法的數學理論就叫做最優化論。在這個過程中必須要有兩個方面：第一，是可行的方法；第二，是所要達到的目標。第二點是第一點的函數，如果可行的方法不存在時間問題，就叫做靜態最優化問題，如果與時間相關，稱之為動態最優化問題。

在日常生活和學習中，能用到最優化的有兩個方面：一是在實際生活中所遇到的生產和科技問題，需要建立一個數學模型。二是在數學學習中所遇到的數學問題。如果我們單純要解決第二類問題的話，資料已經足夠的完善了。但是生活中多數屬于第一類問題，是沒有資料能夠依靠的。而能夠找到最優化解是實際問題中最重要的一步，否則技術的發展將十分困難。

2 建模最優化的應用

想要在實際中應用最優化方法，總共有兩個基本步驟：第一，要把實際問題用數學模型建立出來，也就是用數學建模的方法建立解決問題的優化模型。第二，優化模型建設之后，要利用數學方法和工具解開模型。優化建模方法與一般數學建模有一定的相同之處，但是優化模型更有其特殊之處，所以，優化建模必須要將其特殊性和專業性相結合。同時，在解釋問題的過程中也一定要注意將客觀實際與數學知識結合起來。

同一個問題要通過不同的數學建模進行解決，得到更多的“最優解”，從而從其中挑選出最大價值的答案。所以說，只有建立獨特的模型才能得到最大的創新價值。

典型的最優化模型可以描述成如下形式：

Min{f（X）|X∈D}

其中，X=（x1，x2，…xn）T為一組決策變量，xi（i=1，…，n）通常在實數域R內取值，稱決策變量的函數f（X）為該最優化模型的目標函數；為n維歐式空間Rn的某個子集，通常由一組關于決策變量的等式或不等式描述，比如：

Minf（X）

s.t.Ci（X）≥0（i=1，2，…m1）

Ci（X）=0（I=m1+1，…m）

這時，稱模型中關于決策變量的等式或不等式Ci（X）≥0（i=1，2，…m1）、Ci（X）=0（I=m1+1，…m）為約束條件，而稱滿足全部約束條件的空間Rn中的點X為該？

模型的可行解，稱

即由所有可行解構成的集合為該模型的可行域。

稱X∈D為最優化模型Min{f（X）|X∈D}的（全局）最優解，若滿足：對X∈D。

均有f（X*）≤f（X），這時稱X*∈D處的目標函數值f（X*）為最優化模型。

Min{f（X）|X∈D}的（全局）最優值；稱X*∈D為最優化模型Min{f（X）|X∈D}的局部最優解，若存在δ>0，對X∈D∩{X∈Rn| }。

均有f（X*）≤f（X）。（全局）最優解一定是局部最優解，但反之不然。

數學建模以“建”字為中心，最重要的一點還在于如何將建立起來的數學模型利用數學工具求解，現實生活的數學模型往往涉及的無非是一個最優化問題，在原有現實給予的條件中，怎樣得到最優解實際中最優化問題表現形式如下。

minf（X）

s. t.AX≥b.

以目標函數和約束函數存在的特征，這些問題可以分成各種類型，例如：線性規劃、非線性規劃等。但是，不管問題怎樣變化，除去簡單的數學基礎理論解決辦法和微分方程理論的話，最終只能選擇最優化理論方式來解決這個問題。

在平時的生活中，最優化理論通常只會出現在管理科學和生活實踐中的應用，而線性規劃問題是因為各個方面都已經成熟，所以被人們廣泛接受。因此，目前對非線性規劃理論和其它優化問題探索較多。還記得高中的時候解決非線性的函數都是通過局部線性化來使問題簡單化，現在解決非線性規劃問題也是一樣的，盡量將非線性規劃問題局部線性化來解決。

下面求解指派問題最優化的例子。

例：分別讓小紅、小蘭、小新、小剛4人完成A、B、C、D4項工作，各自完成各項工作所需要的時間如表1所示，現在應該如何安排他們4人完成各項工作，使得消耗的時間最短？

這類問題顯而易見的就是指派問題 ，而經過建立模型后我們也會很清楚的意識到匈牙利算法是解決指派問題最簡單的算法。如果用一般的方法求解，在這個過程中很可能遇到求解整數規劃的分枝定界法或是求解0-1規劃的隱枚舉法，這個求解方式將會非常復雜。所以，可見所建立的數學模型非常關鍵。

下面采用匈牙利方式求解。

如此得到的最優指派方式是：小紅→D、小蘭→B、小新→A、小剛→C。

通過求解上面這個最優指派問題，讓我們了解了運用數學模型的簡單方式。模型求解成為數學建模之后最重要的一步，并且也是到了考驗是否能對最優化理論知識完整求解的時候。同時，也通過上面的例子，解釋了數學建模在解決最優化的實際問題中的廣泛應用。該文所分析的例子只是數學建模中的一個代表性的應用，數學建模與平時生活所遇到的一些事物之間的聯系是息息相關的，隨著現代科學技術的飛速發展，相信數學建模思想越來越得到廣泛的應用。

綜上所述，在數學建模和最優化理論之間，二者是相輔相成、密不可分的關系，數學建模的過程不能離開最優化理論，最優化理論也需要建模的支持。數學模型在產生于生活和實踐中，模型也會隨著事物的改變而越來越復雜。因此，最優化理論也會根據模型建立的不斷發展越來越完善。從另一方面看，最優化理論的不斷完善也會影響著數學模型不斷地提高與優化，為解決客觀問題提供最為重要的一步。但是，距離目標還是有一定的距離，同時也顯現出了這其中所包含的一些問題，比如說數學建模被其他專業接受的力度不夠，受益面小等。要想解決這些問題，就必須對優化建模進行深一步的改革與探索。

參考文獻

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