淺談中學(xué)數(shù)學(xué)化歸思想方法

陳珊珊

【摘要】數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂.化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的思想之一，學(xué)好化歸思想對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)的解題具有重要的意義.本文對(duì)化歸的基本思想、基本方法進(jìn)行了論述，通過(guò)典型例題對(duì)化歸的原則進(jìn)行了很好的說(shuō)明，著力探討了化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用以及該思想的教學(xué)策略.

【關(guān)鍵詞】化歸思想; 中學(xué)數(shù)學(xué); 解題; 教學(xué)策略

一、前 言

化歸是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法.莫斯科大學(xué)教授C.A.雅諾夫斯卡婭有一次向奧林匹克數(shù)學(xué)參加者發(fā)表《什么叫解題》的演講，她回答說(shuō)：“解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解過(guò)的題！”這個(gè)答案的簡(jiǎn)單震驚了在場(chǎng)的所有人.匈牙利著名數(shù)學(xué)家露莎.彼得曾指出：數(shù)學(xué)家往往不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)得到解決的問(wèn)題.

回首數(shù)學(xué)題目的解決過(guò)程，就會(huì)發(fā)現(xiàn)我們通常用轉(zhuǎn)化的方法把生疏的、復(fù)雜的問(wèn)題歸結(jié)為熟悉、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，以便我們可以運(yùn)用自己所學(xué)的知識(shí)，通過(guò)簡(jiǎn)單的方法去解決問(wèn)題.這就是解決問(wèn)題的基本思想方法——化歸.

在中學(xué)數(shù)學(xué)中機(jī)會(huì)處處都貫穿著化歸的思維，作為一個(gè)最基本的思想——化歸，在其他的眾多思想中也占主導(dǎo)地位.這就要求對(duì)化歸思想的掌握要透徹，對(duì)其運(yùn)用必須靈活，合理.所以掌握好化歸思想的教學(xué)、方法等對(duì)于學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的意義相當(dāng)?shù)刂匾?因此本文對(duì)化歸的基本思想、基本方法進(jìn)行了闡述，通過(guò)典型例題對(duì)化歸的原則進(jìn)行了很好的說(shuō)明，著力探討了化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用以及該思想的教學(xué)策略.

“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱(chēng).化歸就是在不易解決或者難以從正面找到解決路徑的問(wèn)題A時(shí)，我們經(jīng)常變動(dòng)問(wèn)題的形式，從側(cè)面或反面尋找突破口，直到把它化成熟悉的或者能夠解決的問(wèn)題B.

化歸思想包括三個(gè)要素：對(duì)象，目標(biāo)，方法.化歸的對(duì)象就是待解決的問(wèn)題中需要轉(zhuǎn)化的成分，化歸的目標(biāo)就是轉(zhuǎn)化后所要達(dá)成的規(guī)范化問(wèn)題，化歸的方法就是規(guī)范化的手段，措施.其中，化歸方法是實(shí)現(xiàn)化歸的關(guān)鍵.

二、化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用類(lèi)型

化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用十分廣泛，而化歸思想幾乎滲透整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)思想.學(xué)好數(shù)學(xué)必須學(xué)會(huì)解題.由此可見(jiàn)，化歸思想的掌握對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著至關(guān)重要的作用.下面闡述化歸在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中主要涉及的應(yīng)用類(lèi)型.

（一）正與反的相互轉(zhuǎn)化

有時(shí)候，直接從條件入手，正面解決問(wèn)題，可能會(huì)加重解題難度，甚至無(wú)法找到解題思路.這時(shí)候，可以考慮反面求解，會(huì)有意想不到的收獲.

例1 已知函數(shù)f（x）=4x²-ax+1在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a 的取值范圍.

解法一（反面法）

當(dāng)函數(shù)f（x）=4x2-ax+1在（0，1）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)

4x2-ax+1=0 在（0，1）內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

即在（0，1）內(nèi)，a≠4x+1x.

而當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，4x+1x≥24x·1x=4，得

4x+1x∈[4，+∞）.

要使a≠4x+1x，必有a<4.

故滿(mǎn)足題設(shè)的實(shí)數(shù)的取值范圍是[4，+∞）

解法二（正面法）

設(shè)f（x）=4x2-ax+1，對(duì)稱(chēng)軸是x=a8，注意到f（0）=1>0，所以對(duì)稱(chēng)軸一定是在y軸的右邊.

（1）當(dāng)0

有Δ=a2-16≥0，

f（0）>0a≤-4或a≥4，

a∈R.a≤-4或a≥4，此時(shí)4≤a≤8;

（2）當(dāng)a8≥1時(shí)，有f（1）<05-a<0a>5，此時(shí)有a≥8.

綜合（1）（2）得實(shí)數(shù)的取值范圍是[4，+∞）.

由以上兩種解法，很明顯可以看出第一種解法，也就是反面推正面的解法更加簡(jiǎn)單，第二種解法要求數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論相結(jié)合，較第一種稍難.所以說(shuō)化歸中的正難則反可以為我們的解題帶來(lái)方便.

（二）數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

1.幾何問(wèn)題代數(shù)化

例2 如圖所示，已知正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1， M是的BC中點(diǎn). 在直線(xiàn)CC1上求一點(diǎn)N，使MN⊥AB1 .

解 在平面BCC1B1內(nèi)過(guò)B1作B1D⊥AB1交CC1的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，

AB21=AB2+BB21=5.

B1D2=B1C21+C1D2=1+C1D2.

AD2=AC2+BD2=1+（2+C1D）2.

5+1+C1D2=1+4+4C1D+C1D2.

C1D=14.

MN∥B1D. CNCM=C1DC1B1. CN=18.

當(dāng)CN=18時(shí)，MN⊥AB1.

2.代數(shù)問(wèn)題幾何化

例3 求函數(shù)f（x）=x2-4x+13+x2-12x+37的最小值.

解析 f（x）=x2-4x+13+x2-12x+37

=（x-2）2+（0-3）2+（x-6）2+（0-1）2.

設(shè)A2，3，B（6，1），P（x，0），

則上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PB|的最小值，

如圖所示，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C（2，-3），

因?yàn)閨PA|+|PB|=|PC|+|PB|≥|BC|=42，

所以f（x）的最小值為42.

這類(lèi)問(wèn)題首先要明確已知函數(shù)的幾何意義，其次是把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)或幾何問(wèn)題，然后利用圖像來(lái)解決.

3.不等與相等的轉(zhuǎn)化

一些數(shù)學(xué)問(wèn)題看似相等的數(shù)量關(guān)系，但根據(jù)這些數(shù)量關(guān)系又很難解決這些問(wèn)題.如果能從中找出一些不等的數(shù)量關(guān)系，從而建立不等式（組）進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這樣的做法往往可以獲得事半功倍的效果.

例4 已知a，b都是實(shí)數(shù)，且a21-b4+b21-a4=1，求證：a4+b4=1.

分析 利用均值不等式再結(jié)合題目中的條件，就可以找出a與b之間的關(guān)系.

解 由均值不等式有a21-b4≤a4+1-b42，

b21-a4≤b4+1-a42，

等號(hào)成立的條件是a2=1-b4，b2=1-a4.

所以有a21-b4+b21-a4≤1，

又題目有a21-b4+b21-a4=1.

所以a4+b4=1.

4.變量與常量的轉(zhuǎn)化

在解題中，若出現(xiàn)的變量較多，可以采取將變量轉(zhuǎn)化為常量的方法，減少變量，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

例5 在△ABC中，求證cosA+cosB+cosC≤32.

解析 A，B，C都是變量

在△ABC中，A+B+C=π，令y=cosA+cosB+cosC，則

y=2cosA+B2cosA-B2+1-2sin2C2=-2sin2C2+2cosA-B2sinC2+1，所以有2sin2C2-2cosA-B2sinC2+y-1=0 將sinC2看成變量，y、 cosA-B2看成常量，那么該式子則為關(guān)于sinC2 的一元二次方程.因?yàn)閟inC2為實(shí)數(shù)，所以該方程有實(shí)根，所以2cosA-B22-8y-1≥0，所以y≤1+12cos2A-B2≤1+12=32 .當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=π3時(shí)，等號(hào)成立，故cosA+cosB+cosC≤32.這里通過(guò)變量的轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解得問(wèn)題，使之得到解決.

三、結(jié)束語(yǔ)

化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題的重要思想方法，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法，我們必須靈活地掌握、運(yùn)用它，才能更好地學(xué)好數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率.雖然該方法被廣泛地使用，但是它并不是萬(wàn)能的，不是所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以通過(guò)化歸來(lái)解決.化歸思想以“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”前提.因此，我們不能只停留在目前的階段，而必須要具有創(chuàng)新精神，不斷研究，并從中獲得新方法、新理論.

【參考文獻(xiàn)】

[1]彭啟科.化歸思想方法探討[J].當(dāng)代經(jīng)理人，2006，05.

[2]李天剛.論化歸思想與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[D].遼寧師范大學(xué).2011.