淺談“二次”與“三次”的不解之緣

丁克華

【摘要】現代認知心理學家們都十分重視原有知識經驗或認知結構在新學習中的作用.人們運用自己已有的知識與技能，促使問題的順利解決與新知識的學習就是遷移的積極作用.教師倘若能有效地利用學生原有的認知結構，促進學習遷移，可大大提高學生學習的效率.且利于學生將知識融會貫通，提高學生的綜合學習與利用的能力.

【關鍵詞】二次函數;三次函數;導數

導數被引入新教材后，使得對三次函數的性質及圖像的研究成為可能.三次函數的導函數是二次函數，“三個二次”即“二次方程、二次函數、二次不等式”又是高中教材中的重點考察內容.于是，用“二次”研究“三次”的問題，能使學生理解他們之間的內在聯系，并在此基礎上解決新問題，做到融會貫通.下面就二者的聯系談談筆者個人的淺見.為方便起見，以下設三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），導函數是二次函數f′（x）=3ax²+2bx+c，二次方程3ax²+2bx+c=0的判別式為Δ，兩個根為 x₁，x₂.

一、 二次函數f′（x）的函數值與三次函數f（x）的切線斜率

由導數的幾何意義知道，函數f（x）在x=x0處的切線斜率就是導函數f′（x）在x=x0處的函數值.

例1 設點P是曲線f（x）=x3-3x+23上的任意一點，P點處切線的傾斜角為α，求角α的取值范圍.

解 f′（x）=3x2-3，∵x∈R，∴f′（x）≥-3.

即P點處的切線斜率k≥-3，

又由k=tan（α）知，α∈0，π2∪2π3，π.

評注 斜率的范圍就是導函數的值域.

學生已有的知識經驗在知識的遷移過程中作為基礎和背景起著不可估量的作用，中外許多著名教育家都很重視學生已有知識經驗的這種作用.例如，赫爾巴特學派明確的把“作用”即“過去經驗中有聯系的觀念在意識中復活，它將喚起對新材料，新知識的興趣，并為學生迅速理解和學習新知識做好準備”.學生已有的知識經驗越精確、熟練，就越利于知識的遷移.

二、 二次方程的判別式與三次函數的單調區間、極值

由單調區間和極值的定義有如下結論 ：

二次方程判別式 單調區間的個數 極值點的個數

例2 設函數f（x）=x³+mx²+x+1在R上沒有極值點，求m的取值范圍.

解 f′（x）=3x2+2mx+1.

由已知方程3x2+2mx+1=0的判別式Δ≤0，

即4m2-12≤0，∴-3≤m≤3.

例3 設函數f（x）=ax3+x恰有三個單調區間，求a的取值范圍.

解 f′（x）=3ax2+1，則方程3ax2+1=0有兩個不相等的實數根，∴Δ>0，即a<0.

三、 二次函數的符號與三次函數的增減性

當二次函數f′（x）在區間I上為正時，三次函數f（x）在區間I上為增函數;當二次函數f′（x）在區間I上為負時，三次函數f（x）在區間I上為減函數.

例4 設f（x）=ax3-x2+x+5在（-∞，+∞）單調增求a的取值范圍.

解 f′（x）=3ax2-2x+1.

由已知，f′（x）≥0在R上恒成立.

∴a>0

Δ≤0，即a>0，

4-12a≤0.∴a≥13.

四、 二次方程的根與三次函數的極值

由結論知，當Δ>0時，三次函數f（x）才有極值，設二次方程的根為x1，x2（x1≠x2），則點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））就是三次函數的兩個極值點.

例5 已知曲線S：f（x）=x3+px2+qx的圖像與x軸相切于不同于原點的一點，又函數有極小值-4，求p，q的值.

解 f′（x）=3x2+2px+q，

設方程3x2+2px+q=0有兩個根x1，x2且x1

y ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑

由表及題設知，曲線與x軸切于點（x1，0）且過點（x2，-4）.

評注：通過分析知道（x1，0），（x2，-4）是曲線的極值點，可以代入其方程，而且x1，x2又是方程f′（x）=0的根，正是x1，x2的雙重身份，使“二次”與“三次”有機結合起來.

教師在教學中要突出知識的系統性，培養學生的統攝思維能力，引導學生把新的知識納入、同化到舊的知識中去.抓住事物的本質屬性與內在聯系，對繁衍的知識進行有層次的概括，是知識間相互聯系的邏輯結構，能綜觀全局，有序地儲存信息.從而為遷移的發生提供前提在實際的應用中，學生才能有目的、有條理的根據知識的線索，迅速恰當的選擇相關知識解決新問題.

例6 已知f（x）=x3+ax2+bx+c有極大值f（α）和極小值f（β），求f（α）+f（β）關于a，b，c的表達式.

解 f′（x）=3x2+2ax+b.

∵f（x）有極大值f（α）和極小值f（β），

∴α，β是方程3x2+2ax+b=0的兩個根.

∴α+β=-23a，αβ=b3.

∴α2+β2=4a29-2b3，α3+β3=-8a327+2ab3.

∴f（α）+f（β）=4a327-2ab3+2c.

評注 由f（α），f（β）是極值得，α，β是方程f′（x）=0 的根，所以可利用根與系數的關系進行求解.

五、二次函數的圖像與三次函數的圖像

例7 設f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0）是增函數，在[0，2]上是減函數，且方程f（x）=0有三個根，分別是α，2，β，（1）求c的值.（2）求證：f（1）≥2.

解 （1）f′（x）=3x2+2bx+c

由已知，f（0）是f（x）的極大值.

∴f′（0）=0，即c=0.

（2）由已知f（x），f′（x）的大致圖像如下：

設f（x）在x0處取得極小值，

由f（x）在（-∞，0）是增函數，在[0，2]上是減函數知x0≥2，

再由f′（x）的圖像知f′（2）≤0，即12+4b≤0，

評注 本題綜合運用了導數的有關知識，借助于f（x）和f′（x）的圖像，使問題直觀明了.

因此在高中數學學習中、要充分的運用知識的遷移規律，提高學習的實效，從而能從題海中解脫出來，真正實施新課程標準下的素質教育.