用“裂項法”求解一類高考數列題

王琪芬

【摘要】高考題是既源于教材，又注重能力，處處體現創新。所以在平常的教學和學習中，關鍵要學會學習方法，注重理解，才能提升能力，有所創新，以不變應萬變。而不要盲目背題型，套模式，做題目。

【關鍵詞】數列求和 裂項法 分式數列 等比數列 等差數列

普通高中課程標準實驗教科書（A版）必修5第47頁，習題2.3 B組第4題：數列{ }的前 項和 。研究一下，能否找到求 的一個公式，你能對這個問題作一些推廣嗎？

顯然，我們不妨把數列{ }叫分式數列，其求和方法為“裂項法”。即因為 = ，所以

= = = 。

推廣：一般地，形如分式結構的數列求和問題，可考慮用“裂項法”使數列裂項后能前后相消達到求和的目的。

2014年高考數學試卷中，有關數列求和問題，有的和分式數列求和有關，但又不是簡單的課本上所講的裂項，他需要我們根據題目的特征進行分析，整理，構造。真正體現出高考出題的“源于課本，重在能力，體現創新”的精神，確實需要我們在教學和學習中去體會。

例1. （2014大綱卷理18） 等差數列 的前n項和為 ，已知 ， 為整數，且 .（1）求 的通項公式；（2）設 ，求數列 的前n項和 .

解：（1）因為 ，所以 ，得到 ，又因為 為整數，所以 ，所以 。

（2）因為 = = 。所以 =

= 。

[評析]：本題（2）與課本題是同一類題型，關鍵是裂項時要注意等價變形。

例2.（2014新課標卷理17）已知數列 滿足 =1， .

（Ⅰ）證明 是等比數列，并求 的通項公式；

（Ⅱ）證明： .

（Ⅰ）證明：由 得 ，所以 ，所以 是等比數列，首項為 ，公比為3，所以 ，解得 。

⑵ 因為 ，所以

。

所以 +

.

[評析]：本題（2）從形式上看是不等式的證明，進一步分析確是分式數列求和，但這個分式數列通頂公式的分母中只含一項，按常規不能用裂項法，要用裂項法就要再構造一相鄰項從而達到裂項目的。由此可看出出題人的良苦用心。

例3.（2014山東卷理19）已知等差數列 的公差為2，前 項和為 ，且 成等比數列.（Ⅰ）求數列 的通項公式；（Ⅱ）令 ，求數列 的前 項和 .

解：（I）∵

解得

（II） ，

[評析]：本題（2）中雖然是分式數列，但按常規，通項裂成相減的兩項顯然不能達到要求，而恰恰相反它能裂成相加的兩項，此時注意到前面的符號關系，馬上就能達到要求。

綜上所述，高考題是既源于教材，又注重能力，處處體現創新。所以在今后的教學和學習中，關鍵要學習方法，注重理解，才能提升能力，有所創新，以不變應萬變。

【參考書目】

2014高考試題。