對數三角函數積分與特殊函數的關系

于航

【摘要】利用超幾何函數與Γ（x）函數的性質得到一類超幾何級數的解析式，并利用數學歸納法得到一類級數的微分等式，通過函數的冪級數展開理論可以得到對數積分∫π/20lnsinθndθ與Riemannζ（s）函數的等式關系，并對上述方法進行推廣得到積分∫π/20sinmθlnsinθndθ與Riemannζ（s）函數的等式關系.如果利用包括留數定理在內的一些理論還可以得到一些形如∫π/20lntanθndθ等對數積分的特殊函數解析式.

【關鍵詞】超幾何函數；對數積分；留數定理；特殊函數

1.引言

在數論與特殊函數的知識領域中Riemannζ（s）函數和G（s）函數都是非常重要的函數，其定義為ζ（s）=∑∞n=11/ns，G