HPM視角下無理數的教學

張苗玲

【摘要】無理數是初等數學教學中的重要內容，也是一個值得探究的問題.本文以無理數的教學為例，通過四個教學片段，探索怎樣進行HPM視角下無理數的教學，希望這個探索為教師教學提供參考案例，將數學史的作用發揮到最大.

【關鍵詞】HPM；無理數；教學

一、無理數歷史及HPM簡介

早在2000年前古希臘有一個畢達哥拉斯學派，他們提出了一個理論：萬物皆數，即我們所知道的一切事物都歸結為整數或者整數比；即任何兩條給定的線段，都能找到作為單位線段的第三線段，可把給定的兩條線段劃分為整數段，這樣的兩條線段稱為可公度量.反之稱為不可公度量.畢達哥拉斯學派是數學界的權威，這個理論在全世界都受到了推崇，但這個學派的一個門徒希伯索斯，發現了這樣一個事實，x2=2，那么x的值既不是分數也不是整數.后來，其學派發現并不是任何線段都可公度，并用反證法證明了1與2不能公度.這個發現否定了其學派萬物皆數的信條，他們試圖封鎖這一發現，然而希伯索斯早已將這個發現偷偷傳播出去.為此，他被圍捕并投進了大海，獻出了生命.很快，人們就發現了除2以外的其他一些無理數，古希臘的數學信仰的基礎也因此而被動搖啦，被稱為第一次數學危機.這一危機由歐多克重新定義比例論而得到暫時的緩解.人們一直認為這種數是不可理喻的數，直到19世紀后期，康托爾、戴德金等數學家為無理數建立了堅實的邏輯基礎，伴隨著數學分析的進一步發展，人們才認同無理數.HPM指數學史與數學教學關系，是（HistoryandPedagogyofMathematics）的簡稱.主要研究內容包括：數學教育取向的數學史研究、基于數學史的教學設計、關于相似性的實證研究和數學史融入數學教學的實踐探索”.

二、HPM視角下無理數的教學片段

通過介紹無理數的發展歷史，引導學生經歷無理數從發現到發展的歷史，將其研究的方法、內容重構并應用實際的教學，體會數學史及文化的魅力.

第一環節：創設情境

折紙活動：拿出邊長為2cm的正方形紙片，按圖所示的方式折.陰影部分的正方形的面積是多少？邊長是多少？通過折紙發現小陰影正方形的面積為2cm2，邊長為2.那2究竟是什么數呢？

古希臘畢達哥拉斯學派的希伯索斯也是這樣，發現了無理數.中國最早記錄無理數的發現的《九章算術》在“少廣”章中的“開方術”中給出了開平方的算法；開方不盡的數叫做“面”.情境中的邊長，在《九章算術》中可以稱面積為2的正方形的邊長為2“面”.

第二環節：無理數的探索

探索1：2有多大，有哪些與眾不同呢？

方法1：估數法：12=1，（2）2=2，22=4；可以看出1<2<2.方法2：試數逐漸逼近法.計算器計算：1.4，1.41，1414，1.41421…的平方大小，2根據更接近哪個呢？2=1.414213562；1.4142135622=1.999999999.1.41423562不是2的算術平方根，計算器算錯了嗎？

想一想：計算器只顯示8位數位，不是全部數據，只是一個近似值.對比有理數的概念，給出無理數的定義：無限不循環小數叫做無理數.無理數的定義，是史托爾茨在《一般算術教程》中證明的.現在，我們也是這樣定義無理數的.方法2的理論源于劉徽在注釋《九章算術》的開方術時提出的求微數，即用十進分數求無理數近似值的方法.

探索2：無理數特征的探索

12，4.878787…，9π+2，67，6，0.23030030003（兩個3之間依次多1個0），7，-12這些都是無理數嗎？總結無理數的特征：1.開不盡方的數；2.圓周率π及一些含有π的數；3.有一定的規律，但不循環的無限小數.4.無理數也有正負之分.此種設計有利于培養學生的批判性思維.

第三環節：拓展深化-探索無理數的真實存在性

有理數在數軸上都能找到對應的點，那無理數如2，3等能否在數軸上找到相對應的點并數軸上表示呢？借助尺規作圖，演示2，3，5與數軸上的點的對應關系；動手操作，體會數形結合的魅力.

第四環節：提煉思想-課后探究

參照課程標準設計如下習題，讓學生更好的掌握無理數的內容；

1若無理數a滿足不等式1

2已知M是滿足不等式x≤27-33的最大整數，N是滿足不等式-3

三、結論與反思

人的認識過程與人類認識的過程是基本一致的，所以我們要了解數學發生和發展，才能更加懂得怎樣安排學習順序，應該選擇哪些內容用于教學.才能讓學生更好的了解數學的來龍去脈，體會其發展過程中蘊含的數學思想，真正領會到數學的魅力；充分的激發學生的學習興趣.HPM可為數學教學的設計提供了一個新的視角，解決數學史在教學運用中存在的困難，其研究具有重要意義.

【參考文獻】

[1]潘亦寧.無理數發展簡史[J].中學數學雜志，2008，4：64-65.

[2]汪曉勤.HPM研究的內容和方法[J].數學教育學報，2006，2（1）：18.

[3]陳曦，張海玲，王尚志.HPM視角下“任意角三角函數的概念”教學研究[J].首都師范大學學報（自然科學版），2014，12（6）：27.